Avval o‘rganing: To‘rtburchaklar, Aylana va doira
Yuza — shakl tekislikda egallagan joyning o‘lchovi. U yer maydoni, xona poli, bo‘yaladigan devor, material sarfi kabi amaliy hisoblarda doimo kerak. Yuza masalalarida formulalarni bilish yetarli emas — ko‘pincha shaklni bo‘laklarga ajratish yoki "keraksiz" qismlarni ayirish kerak bo‘ladi. Bunda ikki g‘oya hal qiluvchi: bir xil balandlikli uchburchaklar yuzalari asoslar kabi nisbatda, o‘xshash shakllar yuzalari k² nisbatda. Bu darsda yuza xossalari, to‘rtburchak, uchburchak va doira formulalari, yuzalar nisbati va murakkab shakllar ko‘rib chiqiladi.
Yuza kvadrat birliklarda o‘lchanadi: tomoni 1 cm bo‘lgan kvadrat yuzi 1 cm². Birliklar orasidagi o‘tishda chiziqli o‘lcham kvadratga oshiriladi: 1 m = 100 cm, demak 1 m² = 10 000 cm²; 1 ga = 10 000 m², 1 km² = 100 ga.
Yuzaning asosiy xossalari:
Teng yuzali shakllar teng bo‘lishi shart emas: tomonlari 2 × 8 va 4 × 4 bo‘lgan to‘rtburchaklar yuzalari teng (16), lekin o‘zlari har xil
Barcha formulalar to‘g‘ri to‘rtburchak yuzi S = ab dan kelib chiqadi: parallelogramm kesib-ko‘chirish bilan to‘g‘ri to‘rtburchakka, uchburchak — parallelogrammning yarmiga, trapetsiya — ikki uchburchakka keltiriladi.
To‘g‘ri to‘rtburchak S = ab; kvadrat S = a² = d²/2
Parallelogramm S = a·hₐ = ab sin α
Romb S = d₁d₂/2 = a² sin α
Trapetsiya S = (a + b)/2 · h = m·h
Ixtiyoriy qavariq to‘rtburchak S = ½ d₁d₂ sin φ
Parallelogramm formulasi: bir uchidagi uchburchakni kesib, qarama-qarshi tomonga ko‘chirsak, asosi a va balandligi h bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak hosil bo‘ladi. Balandlik h = b sin α bo‘lgani uchun S = ab sin α. Rombda diagonallar perpendikulyar, shuning uchun φ = 90° va S = d₁d₂/2.
Parallelogramm tomonlari 8 va 5, burchagi 30°. Yuzini toping.
Rombning tomoni 10, bir diagonali 12. Yuzini toping.
Agar faqat tomon va burchak ma’lum bo‘lsa, S = a² sin α qulayroq: tomoni 10, burchagi 30° bo‘lgan romb yuzi 100 · ½ = 50.
S = ½ a·h = ½ ab sin C, Geron: √(p(p − a)(p − b)(p − c)), S = pr = abc/(4R)
To‘g‘ri burchaklida S = ½ ab (katetlar), teng tomonlida S = a²√3/4.
Uchlari koordinatalari bilan berilgan uchburchak uchun:
S = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
Formulani berilganlarga qarab tanlang: asos va balandlik — ½ah; ikki tomon va burchak — sinusli formula; uch tomon — Geron; koordinatalar — so‘nggi formula.
A(1; 1), B(5; 2), C(2; 6) uchburchak yuzini toping.
Bu qoidalar ko‘pincha uzunliklarni bilmasdan yuzani topishga imkon beradi. Masalan, ABC uchburchak yuzi 30 bo‘lib, AB da AM : MB = 1 : 2, AC da AN : NC = 1 : 1 bo‘lsa, AMN uchburchak yuzi 30 · ⅓ · ½ = 5 ga teng.
ABCD parallelogramm yuzi 64. F — AD da, AF/FD = 3; K — AB da, AK/KB = 1. FKCD to‘rtburchak yuzini toping.
Doira πR², sektor πR²α/360°, halqa π(R² − r²)
Segment = sektor − uchburchak
Sektor yuzi doira yuzining α/360° qismi: burchak necha marta kichik bo‘lsa, yuza ham shuncha marta kichik. Radianda: S = R²α/2. Aylana uzunligi C = 2πR — doira yuzi bilan adashtirmang.
Radiusi 6 bo‘lgan doirada 60° li sektor va mos segment yuzini toping.
Strategiya:
Trapetsiyada diagonallar uni 4 uchburchakka bo‘ladi: asoslarga tutashlari o‘xshash (k = a/b), yon tomonlarga tutash ikkitasi esa teng yuzali va har birining yuzi asoslardagi uchburchaklar yuzlarining o‘rta proporsionaliga teng.
Trapetsiya asoslari 6 va 10, balandligi 5. Yuzini va diagonallar hosil qilgan uchburchaklar yuzini toping.