Vektorlar va koordinatalar

Vektor — yo‘nalishga ega kesma. Fizikada tezlik, kuch va ko‘chish vektor bilan tasvirlanadi, chunki ular uchun faqat son (kattalik) emas, yo‘nalish ham muhim. Geometriyada esa koordinatalar usuli geometrik masalani algebraik hisob-kitobga aylantiradi: chizmasiz, faqat formulalar bilan masofa, burchak, parallellik va perpendikulyarlikni aniqlash mumkin. Bu darsda vektor tushunchasi, koordinatalar, amallar, skalyar ko‘paytma va uning qo‘llanishlari hamda to‘g‘ri chiziq va aylana tenglamalari ko‘rib chiqiladi.

§1. Vektor tushunchasi

Vektor — boshi va oxiri ko‘rsatilgan kesma: AB⃗ yozuvida A — boshi, B — oxiri. U ikki narsa bilan aniqlanadi: uzunligi (moduli) |AB⃗| va yo‘nalishi.

• Teng vektorlar — uzunligi va yo‘nalishi bir xil; ular qayerga chizilganining ahamiyati yo‘q (vektorni parallel ko‘chirish mumkin).
• Nol vektor 0⃗ — boshi va oxiri ustma-ust tushgan, uzunligi 0, yo‘nalishi aniqlanmagan.
• Qarama-qarshi vektorlar — uzunligi teng, yo‘nalishi teskari: BA⃗ = −AB⃗.
• Kollinear vektorlar — bir to‘g‘ri chiziqda yoki parallel to‘g‘ri chiziqlarda yotadi (bir xil yoki qarama-qarshi yo‘nalgan).

Kesma va vektor farqi: AB va BA kesmalar bir xil, AB⃗ va BA⃗ vektorlar esa har xil.

§2. Koordinatalar, uzunlik va o‘rta nuqta

A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) bo‘lsa:

Uzunlik formulasi — Pifagor teoremasi: x va y koordinatalar katetlar, vektor esa gipotenuza. Fazoda uchinchi koordinata qo‘shiladi: |a⃗| = √(x² + y² + z²).
Vektorni birlik vektorlar orqali yozish mumkin: a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗, bu yerda i⃗(1; 0), j⃗(0; 1) — o‘qlar bo‘yicha birlik vektorlar.

Misol

A(1; 2), B(4; 6). AB⃗ koordinatalari, uzunligi va AB o‘rtasini toping.

1. AB⃗ = (4 − 1; 6 − 2) = (3; 4).
2. |AB⃗| = √(9 + 16) = 5.
3. O‘rtasi: ((1 + 4)/2; (2 + 6)/2) = (2,5; 4).

§3. Vektorlar ustida amallar

• Qo‘shish: koordinatalar qo‘shiladi. Geometrik — uchburchak qoidasi (AB⃗ + BC⃗ = AC⃗: ikkinchisining boshi birinchisining oxiriga qo‘yiladi) yoki parallelogramm qoidasi (umumiy boshdan chiqqan vektorlar yig‘indisi — parallelogramm diagonali).
• Ayirish: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗); umumiy boshdan chizilsa, ayirma b⃗ ning oxiridan a⃗ ning oxiriga yo‘nalgan.
• Songa ko‘paytirish: k·a⃗ = (kx; ky); uzunligi |k| marta o‘zgaradi, k < 0 bo‘lsa yo‘nalish teskari.

Bu amallar bilan geometrik faktlar isbotlanadi: masalan, parallelogrammning to‘rtinchi uchi D = A + C − B formulasi bilan topiladi, chunki AD⃗ = BC⃗.

Misol

a⃗(2; −4) va b⃗(−3; k) kollinear. k ni toping.

1. Kollinearlik sharti: 2/(−3) = −4/k.
2. 2k = 12.
3. k = 6.

§4. Skalyar ko‘paytma

Natija — son (vektor emas). Ikki ta’rifning tengligi kosinuslar teoremasidan kelib chiqadi. Skalyar ko‘paytma ishorasi burchak turini bildiradi: musbat — o‘tkir, nol — to‘g‘ri, manfiy — o‘tmas. Fizikada kuchning bajargan ishi A = F⃗ · s⃗ — skalyar ko‘paytma.

Misol

a⃗(3; k) va b⃗(2; −6) perpendikulyar. k ni toping.

1. Perpendikulyarlik: a⃗ · b⃗ = 0.
2. 3 · 2 + k · (−6) = 6 − 6k = 0.
3. k = 1.

Misol

A(1; 1), B(4; 5), C(5; −2). ABC uchburchakning A burchagini toping.

1. AB⃗ = (3; 4), AC⃗ = (4; −3).
2. AB⃗ · AC⃗ = 12 − 12 = 0.
3. Demak ∠A = 90°.

§5. Uzunlik va burchak orqali hisob

Koordinatalar berilmagan, faqat uzunliklar va burchak ma’lum bo‘lsa, ifodani kvadratga oshirib, skalyar ko‘paytma xossalaridan foydalanamiz:

Bu formula qisqa ko‘paytirish formulasiga o‘xshaydi va aslida parallelogramm diagonallari uchun kosinuslar teoremasidir.

Misol

|a⃗| = 5, |b⃗| = 4, ular orasidagi burchak 60°. |5a⃗ − b⃗| ni toping.

1. Kvadratga oshiramiz: |5a⃗ − b⃗|² = 25|a⃗|² − 10 a⃗·b⃗ + |b⃗|².
2. a⃗·b⃗ = 5 · 4 · ½ = 10.
3. = 25 · 25 − 100 + 16 = 541 → |5a⃗ − b⃗| = √541.

§6. To‘g‘ri chiziq va aylana tenglamalari

Aylana tenglamasi — markazgacha masofa R ga teng nuqtalar to‘plami (masofa formulasi). ax + by + c = 0 to‘g‘ri chiziqqa n⃗(a; b) vektor perpendikulyar (normal vektor). Umumiy ko‘rinishdagi aylana tenglamasida to‘liq kvadrat ajratib, markaz va radius topiladi.

Misol

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 aylananing markazi va radiusini toping.

1. Guruhlaymiz: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3.
2. To‘liq kvadrat: (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 = 3 → (x − 2)² + (y + 3)² = 16.
3. Markaz (2; −3), R = 4.

Misol

M(1; 2) nuqtadan o‘tib, y = 2x + 3 to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing.

1. Perpendikulyarlik sharti: 2 · k = −1 → k = −1/2.
2. y = −x/2 + b ga M(1; 2) ni qo‘yamiz: 2 = −1/2 + b → b = 5/2.
3. Javob: y = −x/2 + 5/2, ya’ni x + 2y − 5 = 0.

O‘zingizni tekshiring

1. a⃗(−6; 8) vektor uzunligini toping.

2. a⃗(2; 3) va b⃗(4; −1) skalyar ko‘paytmasini toping.

3. a⃗(k; 4) ⟂ b⃗(2; −1). k ni toping.

4. (−2; 5) va (4; −1) nuqtalarni tutashtiruvchi kesma o‘rtasini toping.

5. |a⃗| = 3, |b⃗| = 4, a⃗ ⟂ b⃗. |a⃗ + b⃗| ni toping.

6. a⃗(1; 2) va b⃗(2; 1) orasidagi burchak kosinusini toping.

7. ABCD parallelogrammda A(1; 2), B(4; 3), C(6; 7). D ni toping.

8. |a⃗| = 2, |b⃗| = 3, burchak 120°. |a⃗ + b⃗| ni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Vektor koordinatasini "boshidan oxirini" ayirib topish.
• |a⃗ + b⃗| ni |a⃗| + |b⃗| deb hisoblash.
• Kvadratga oshirganda 2a⃗·b⃗ hadini unutish.
• Kollinearlik shartida koordinatalarni aralash juftlash.
• Skalyar ko‘paytma natijasini vektor deb yozish (u — son).
• Aylana tenglamasida markaz ishorasini adashtirish: (x + 3)² da a = −3.