Aylana va doira

Aylana — geometriyaning eng ko‘p uchraydigan figurasi: u uchburchak, ko‘pburchak, koordinatalar va hatto trigonometriya masalalarida ham paydo bo‘ladi. Aylana masalalarining aksariyati uchta faktga tayanadi: urinma radiusga perpendikulyar, ichki chizilgan burchak yoyning yarmiga teng, kesishuvchi vatarlar bo‘laklari ko‘paytmasi teng. Shularni chizmada ko‘ra bilish murakkab rasmni oddiy to‘g‘ri burchakli uchburchaklarga aylantiradi. Quyida har bir qoidani nima uchun to‘g‘ri ekanini ham tushuntiramiz.

§1. Asosiy elementlar va formulalar

Aylana — tekislikda berilgan nuqtadan (markazdan) bir xil R masofada yotgan barcha nuqtalar to‘plami. Doira — aylana va uning ichidagi nuqtalar. Bu ikki tushunchani farqlang: aylananing uzunligi bor, doiraning esa yuzi.
Asosiy elementlar:

• radius R — markazni aylana nuqtasi bilan tutashtiruvchi kesma;
• diametr d = 2R — markazdan o‘tuvchi vatar;
• vatar — aylananing ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesma; eng kattasi — diametr;
• yoy — aylananing ikki nuqta orasidagi qismi; yoy gradusda o‘lchanadi (butun aylana 360°);
• urinma — aylana bilan yagona umumiy nuqtaga ega to‘g‘ri chiziq;
• kesuvchi — aylanani ikki nuqtada kesuvchi to‘g‘ri chiziq.

Yoy va sektor formulalari mantiqan tushunarli: α gradusli yoy butun aylananing α/360 qismi, shuning uchun uzunlik ham, yuz ham shu ulushda olinadi.
Vatar haqidagi ikki muhim fakt:

• Markazdan vatarga tushirilgan perpendikulyar vatarni teng ikkiga bo‘ladi. Sababi: markaz va vatar uchlari teng yonli uchburchak hosil qiladi (ikki tomoni R), uning balandligi esa medianadir. Natijada R² = h² + (vatar/2)², bu yerda h — markazdan vatargacha masofa.
• Teng vatarlar markazdan teng uzoqlikda yotadi va teng yoylarga tiraladi.

Misol

Radiusi 5 bo‘lgan aylanada markazdan 3 masofada vatar o‘tkazilgan. Vatar uzunligini toping.

1. Markazdan vatarga perpendikulyar tushiramiz — u vatarni teng ikkiga bo‘ladi.
2. To‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuza R = 5, katet h = 3.
3. Vatar yarmi: √(25 − 9) = 4.
4. Vatar uzunligi: 2 · 4 = 8.

§2. Urinmalar

Birinchi fakt nega to‘g‘ri? Markazdan urinmagacha eng qisqa masofa — perpendikulyar. Urinmaning boshqa barcha nuqtalari aylanadan tashqarida, ya’ni markazdan R dan uzoqda; demak eng yaqin nuqta urinish nuqtasi, va radius aynan perpendikulyar bo‘ladi.
Ikkinchi fakt to‘g‘ri burchakli uchburchaklar tengligidan kelib chiqadi: P nuqtadan A va B ga urinmalar o‘tkazilsa, OPA va OPB uchburchaklarida gipotenuza OP umumiy, katetlar OA = OB = R. Shuning uchun PA = PB, OP esa APB burchakning bissektrisasi.
Bu faktlar uchburchakka ichki chizilgan aylana masalalarida ko‘p ishlatiladi: har bir uchdan chiqqan ikki urinma kesmasi teng bo‘lgani uchun tomonlar shu kesmalar yig‘indisiga ajraladi.
To‘g‘ri chiziq va aylananing o‘zaro joylashuvi markazdan to‘g‘ri chiziqqacha masofa h ga bog‘liq: h < R — ikki nuqtada kesadi, h = R — urinadi, h > R — umumiy nuqtasi yo‘q.

Misol

P nuqta markazdan 13 uzoqlikda, R = 5. P dan o‘tkazilgan urinma kesmasining uzunligini toping.

1. Urinish nuqtasi T, OT ⊥ PT, demak OTP — to‘g‘ri burchakli uchburchak.
2. Gipotenuza OP = 13, katet OT = 5.
3. PT = √(169 − 25) = √144 = 12.

§3. Markaziy va ichki chizilgan burchaklar

Markaziy burchak — uchi markazda bo‘lgan burchak. Ichki chizilgan burchak — uchi aylanada yotgan, tomonlari esa vatarlar bo‘lgan burchak.

Nega yarmi? Agar ichki chizilgan burchakning bir tomoni diametr bo‘lsa, markaz va ikki nuqtadan teng yonli uchburchak hosil bo‘ladi; uning tashqi burchagi (markaziy burchak) ikki teng asosdagi burchak yig‘indisiga teng, ya’ni ichki chizilgan burchakning ikki baravari. Umumiy holat shu holatga keltiriladi.
Natijalar:

• Bir yoyga tiralgan ichki chizilgan burchaklar teng.
• Diametrga tiralgan ichki chizilgan burchak 90° (yarim aylana 180°, yarmi 90°).
• Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakda qarama-qarshi burchaklar yig‘indisi 180°.
• Vatar va urinma orasidagi burchak ular orasidagi yoyning yarmiga teng.

Misol (rasmiy namuna)

Aylana 13 : 14 : 9 nisbatda uch yoyga bo‘lingan, bo‘linish nuqtalari uchburchak hosil qiladi; uning kichik tomoni ⁴√12. Shu aylanaga tashqi chizilgan muntazam uchburchak yuzini toping.

1. Yoylar: jami 13 + 14 + 9 = 36 qism, bir qism 10° → 130°, 140°, 90°.
2. Uchburchak burchaklari — yoylarning yarmi: 65°, 70°, 45°.
3. Kichik tomon kichik burchak 45° qarshisida: sinuslar teoremasidan 2R sin 45° = R√2 = ⁴√12.
4. Kvadratga ko‘taramiz: 2R² = √12 → R² = √12/2 = √3.
5. Aylana muntazam uchburchakka ichki chizilgan, uning radiusi r = R; muntazam uchburchak yuzi S = 3√3 r².
6. S = 3√3 · √3 = 9.

§4. Kesmalar munosabati

Bu formulalar o‘xshash uchburchaklardan kelib chiqadi. Masalan, kesishuvchi vatarlarda AEC va DEB uchburchaklari o‘xshash: bir yoyga tiralgan ichki chizilgan burchaklar teng, vertikal burchaklar ham teng. O‘xshashlikdan AE/DE = CE/EB, ya’ni AE · EB = CE · ED.

Misol

AB va CD vatarlar E nuqtada kesishadi: AE = 4, EB = 6, CE = 3. CD ni toping.

1. AE · EB = CE · ED → 4 · 6 = 3 · ED.
2. ED = 24/3 = 8.
3. CD = CE + ED = 3 + 8 = 11.

§5. Uchburchak va aylanalar

Har qanday uchburchakka bitta tashqi va bitta ichki aylana chizish mumkin.

• Tashqi aylana markazi — tomonlarning o‘rta perpendikulyarlari kesishgan nuqta (u uchlardan teng uzoqda).
• Ichki aylana markazi — bissektrisalar kesishgan nuqta (u tomonlardan teng uzoqda).
• To‘g‘ri burchakli uchburchakda R = c/2 (gipotenuza — diametr) va r = (a + b − c)/2.
• Muntazam uchburchakda R = 2r, tomon a = R√3.

Tashqi urinuvchi (chetki) aylana — uchburchakning bir tomoniga va qolgan ikki tomonining davomiga urinadi. To‘g‘ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga urinuvchi chetki aylananing radiusi yarim perimetrga teng.

Misol (rasmiy namuna)

Aylana Ox va Oy o‘qlariga hamda (6; 0) va (0; 8) nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaga urinadi (kesmaning koordinata boshiga qarama-qarshi tomonida). Uning radiusini toping.

1. Kesma uzunligi: √(36 + 64) = 10; o‘qlar bilan birga katetlari 6 va 8 bo‘lgan uchburchak hosil bo‘ladi.
2. Aylana gipotenuzaga va katetlarning davomiga urinadi — bu chetki aylana; markazi (R; R), o‘qlarga urinish nuqtalari (R; 0) va (0; R).
3. Bir nuqtadan o‘tgan urinmalar teng: (R − 6) + (R − 8) = 10.
4. 2R = 24 → R = 12 (yarim perimetr (6 + 8 + 10)/2 = 12).

Misol

Tomonlari 13, 14, 15 bo‘lgan uchburchak uchun R va r ni toping.

1. p = 21; Geron formulasi: S = √(21 · 8 · 7 · 6) = 84.
2. r = S/p = 84/21 = 4.
3. R = abc/(4S) = 2730/336 = 8,125.

O‘zingizni tekshiring

1. Ichki chizilgan burchak 35°. Shu yoyga tiralgan markaziy burchak necha gradus?

2. Uzunligi 10π bo‘lgan aylana bilan chegaralangan doira yuzini toping.

3. Urinma 6, kesuvchining tashqi qismi 4. Butun kesuvchini toping.

4. Katetlari 5 va 12 bo‘lgan uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi.

5. Nuqtadan o‘tkazilgan urinmalar orasidagi burchak 60°, R = 3. Nuqtadan markazgacha masofa?

6. Radiusi 6, markaziy burchagi 60° bo‘lgan sektor yuzi.

7. Radiusi 6 bo‘lgan aylanada 120° li yoy uzunligi.

8. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakning bir burchagi 110°. Unga qarama-qarshi burchak?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Ichki chizilgan burchakni yoyga teng deb olish — aslida u yoyning yarmiga teng.
• Urinma-kesuvchi formulasida butun kesuvchi o‘rniga ichki qismni olish.
• Urinma va radius orasidagi to‘g‘ri burchakni chizmada ko‘rmaslik.
• Yoy uzunligi (πRα/180) va sektor yuzi (πR²α/360) formulalarini adashtirish.
• Aylana uzunligi va doira yuzini aralashtirish: 2πR — uzunlik, πR² — yuz.
• To‘g‘ri burchakli uchburchakda R ni gipotenuzaning o‘zi deb olish (R = c/2).