To‘rtburchaklar

To‘rtburchaklar oilasi ierarxiya kabi tuzilgan: kvadrat — ham romb, ham to‘g‘ri to‘rtburchak; ular esa parallelogramm. Har bir "pastroq" shakl yuqoridagilarning barcha xossalariga ega va o‘zining qo‘shimchalarini qo‘shadi. Shu tuzilishni tushunsangiz, xossalarni yodlash shart bo‘lmaydi — ularni kelib chiqishidan tiklash mumkin. Trapetsiya alohida tarmoq: unda faqat bir juft tomon parallel. Bu darsda har bir turning ta’rifi, xossalari, alomatlari va aylana bilan bog‘liq natijalar ko‘rib chiqiladi.

§1. Umumiy to‘rtburchak

To‘rtburchak — to‘rtta uchi va to‘rtta tomoni bo‘lgan ko‘pburchak. Qavariq to‘rtburchakning ikkita diagonali bor va ular ichkarida kesishadi.

Nega? Bitta diagonal to‘rtburchakni ikki uchburchakka bo‘ladi, har birining burchaklari yig‘indisi 180°.
Varinyon teoremasi: ixtiyoriy to‘rtburchak tomonlari o‘rtalarini ketma-ket tutashtirsak, parallelogramm hosil bo‘ladi; uning tomonlari diagonallarga parallel va ularning yarmiga teng (uchburchak o‘rta chizig‘i xossasidan).
To‘rtburchaklar tasnifi:

• Parallelogramm — qarama-qarshi tomonlar juft-juft parallel.
• To‘g‘ri to‘rtburchak — barcha burchaklari to‘g‘ri bo‘lgan parallelogramm.
• Romb — barcha tomonlari teng parallelogramm.
• Kvadrat — ham to‘g‘ri to‘rtburchak, ham romb.
• Trapetsiya — faqat bir juft tomoni parallel.

§2. Parallelogramm

Qarama-qarshi tomonlari juft-juft parallel bo‘lgan to‘rtburchak.

Bu xossalar diagonal parallelogrammni ikkita teng uchburchakka bo‘lishidan kelib chiqadi (parallel to‘g‘ri chiziqlardagi ichki almashinuvchi burchaklar teng). Qo‘shni burchaklar esa parallel to‘g‘ri chiziqlar va kesuvchi hosil qilgan ichki bir tomonli burchaklardir.
Alomatlari: to‘rtburchak parallelogramm bo‘ladi, agar:

• ikki qarama-qarshi tomoni teng va parallel bo‘lsa;
• qarama-qarshi tomonlari juft-juft teng bo‘lsa;
• diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linsa.

Burchak bissektrisasi parallelogrammdan teng yonli uchburchak kesadi. Diagonallar uchun: d₁² + d₂² = 2(a² + b²).

Misol

ABCD parallelogrammda AB = 6, BC = 10. A burchak bissektrisasi BC ni K nuqtada kesadi. KC ni toping.

1. ∠BAK = ∠KAD (bissektrisa), ∠KAD = ∠BKA (ichki almashinuvchi, AD ∥ BC).
2. Demak ∠BAK = ∠BKA, △ABK teng yonli: BK = AB = 6.
3. KC = 10 − 6 = 4.

§3. To‘g‘ri to‘rtburchak, romb, kvadrat

• To‘g‘ri to‘rtburchak: barcha burchaklar 90°; diagonallari teng: d = √(a² + b²). Alomati: diagonallari teng parallelogramm — to‘g‘ri to‘rtburchak.
• Romb: barcha tomonlar teng; diagonallari perpendikulyar va burchaklarning bissektrisalari. Diagonallar rombni to‘rtta teng to‘g‘ri burchakli uchburchakka bo‘ladi: a² = (d₁/2)² + (d₂/2)². Alomati: diagonallari perpendikulyar yoki diagonali burchak bissektrisasi bo‘lgan parallelogramm — romb.
• Kvadrat: hammasi birga; d = a√2, diagonallar teng, perpendikulyar va 45° burchak hosil qiladi.

To‘g‘ri to‘rtburchakda diagonallar kesishish nuqtasi tashqi chizilgan aylana markazi; rombda esa — ichki chizilgan aylana markazi.

Misol

Rombning burchagi 60°, tomoni 4. Diagonallarini toping.

1. Kichik diagonal 60° li burchak qarshisida va ikki tomon bilan teng tomonli uchburchak hosil qiladi: d₁ = 4.
2. Katta diagonalning yarmi shu uchburchak balandligi: 4 · √3/2 = 2√3.
3. d₂ = 2 · 2√3 = 4√3.

§4. Trapetsiya

Faqat bir juft tomoni (asoslari) parallel; qolgan ikkitasi — yon tomonlar.

• Yon tomonga yopishgan burchaklar yig‘indisi 180°.
• Teng yonli trapetsiya: asosdagi burchaklar teng, diagonallar teng; kichik asos uchidan tushirilgan balandlik katta asosda (a − b)/2 kesma ajratadi.
• To‘g‘ri burchakli trapetsiya: bir yon tomoni asoslarga perpendikulyar va balandlikka teng.
• Diagonallar kesishgan nuqtada asoslarga tutash uchburchaklar o‘xshash (k = a/b), shuning uchun diagonallar a : b nisbatda bo‘linadi.

Misol

Teng yonli trapetsiya asoslari 4 va 10, yon tomoni 5. Balandligini toping.

1. Yon tomonning katta asosga proyeksiyasi: (10 − 4)/2 = 3.
2. Yon tomon, balandlik va proyeksiya to‘g‘ri burchakli uchburchak hosil qiladi.
3. h = √(25 − 9) = 4.

Misol

Trapetsiya asoslari 6 va 4, diagonali 15. Diagonallar kesishish nuqtasi O bu diagonalni qanday bo‘laklarga bo‘ladi?

1. Asoslarga tutash uchburchaklar o‘xshash, k = 6 : 4 = 3 : 2.
2. Diagonal 3 : 2 nisbatda bo‘linadi: 15 : 5 = 3.
3. Bo‘laklar: 9 (katta asos tomonida) va 6.

§5. Aylanaga ichki va tashqi chizilgan to‘rtburchaklar

Birinchi xossa ichki chizilgan burchak yoyning yarmiga tengligidan kelib chiqadi: qarama-qarshi burchaklar birgalikda butun aylanaga (360°) tiraladi, demak yig‘indisi 180°. Ikkinchisi bir nuqtadan o‘tkazilgan urinma kesmalari tengligidan.
Natijalar: aylanaga ichki chizilgan parallelogramm — to‘g‘ri to‘rtburchak; ichki chizilgan trapetsiya — teng yonli. Rombga har doim aylana ichki chizish mumkin.
Teng yonli trapetsiyaga aylana ichki chizilsa, a + b = 2c, demak yon tomon o‘rta chiziqqa teng: c = m; bundan tashqari h² = ab va h = 2r.

Misol

Aylanaga tashqi chizilgan ABCD to‘rtburchakda AB = 7, BC = 9, CD = 8. AD va perimetrni toping.

1. Tashqi chizilgan to‘rtburchak sharti: AB + CD = BC + AD.
2. 7 + 8 = 9 + AD → AD = 6.
3. Perimetr: 2(AB + CD) = 2 · 15 = 30.

Bu xossalar masalada aylana haqida gap ketganda birinchi navbatda tekshiriladi: ichki chizilgan to‘rtburchakda burchaklar, tashqi chizilganda tomonlar bilan ishlanadi.

O‘zingizni tekshiring

1. Parallelogramm perimetri 30, tomonlari 2 : 3 nisbatda. Tomonlarini toping.

2. Trapetsiya o‘rta chizig‘i 12, bir asosi 8. Ikkinchi asosni toping.

3. Romb diagonallari 6 va 8. Perimetrini toping.

4. Teng yonli trapetsiya asoslari 5 va 11, o‘tkir burchagi 45°. Balandligini toping.

5. Aylanaga ichki chizilgan to‘rtburchakda ∠A : ∠C = 2 : 7. ∠A ni toping.

6. Teng yonli trapetsiyaga aylana ichki chizilgan, asoslar 3 va 7. Balandlikni toping.

7. Parallelogrammning bir burchagi ikkinchisidan 40° katta. Burchaklarini toping.

8. To‘g‘ri to‘rtburchak diagonali 10, bir tomoni 6. Yuzini toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Romb diagonallarini teng deb olish (teng emas, perpendikulyar).
• Parallelogrammning qarama-qarshi burchaklarini 180° ga to‘ldirish (ular teng; 180° — qo‘shnilar yig‘indisi).
• Trapetsiya o‘rta chizig‘ini asoslar ayirmasining yarmi deb hisoblash.
• Ichki va tashqi chizilgan to‘rtburchak shartlarini almashtirish.
• Teng yonli trapetsiyada proyeksiya sifatida (a − b)/2 o‘rniga a − b ni olish.
• Rombda yarim diagonallar o‘rniga butun diagonallarni Pifagor teoremasiga qo‘yish.