Irratsional tenglamalar

Irratsional tenglamada noma’lum ildiz ostida turadi: √(x + 7) = x + 1, √x + √(x + 5) = 5. Asosiy usul — ildizdan qutulish uchun ikki tomonni kvadratga (yoki kerakli darajaga) ko‘tarish. Lekin bu almashtirish teng kuchli emas: u begona ildizlar paydo qiladi. Shuning uchun har bir qadamda shartlarni yozish yoki oxirida tekshirish shart — imtihondagi xatolarning asosiy qismi aynan shu yerda. Bu darsda tenglama va tengsizliklarning asosiy turlari, almashtirish usuli va aniqlanish sohasidan foydalanishni ko‘rib chiqamiz.

§1. Nega begona ildizlar paydo bo‘ladi

Kvadratga ko‘tarish a = b dan a² = b² ni beradi, lekin teskarisi to‘g‘ri emas: a² = b² dan a = b yoki a = −b kelib chiqadi. Masalan, x = 3 tenglamani kvadratga ko‘tarsak, x² = 9 hosil bo‘ladi — uning ildizlari 3 va −3, ya’ni −3 begona ildiz paydo bo‘ldi.

Ikkita himoya usuli bor: teng kuchli o‘tish (shartlarni yozib olish) yoki tekshirish (har bir topilgan sonni dastlabki tenglamaga qo‘yish). Ildizlar «chiroyli» bo‘lsa — tekshirish qulay, «xunuk» bo‘lsa — shartlar ishonchliroq.
Toq darajaga ko‘tarish (masalan, kubga) teng kuchli: ∛f = g ⇔ f = g³, begona ildiz paydo bo‘lmaydi.

§2. Asosiy turdagi tenglama

Nega g(x) ≥ 0? Arifmetik ildiz manfiy bo‘lmaydi; kvadratga ko‘targanda bu ma’lumot yo‘qoladi. f(x) ≥ 0 shartini alohida yozish shart emas — u f = g² dan avtomatik kelib chiqadi.

• √f(x) = a, a < 0 — yechim yo‘q: √(x − 3) = −2.
• √f(x) = a, a ≥ 0 — f(x) = a².

Misol

√(x + 7) = x + 1 ni yeching.

1. Shart: x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1.
2. Kvadratga ko‘taramiz: x + 7 = x² + 2x + 1 → x² + x − 6 = 0.
3. Ildizlar: x = 2 yoki x = −3.
4. x = −3 shartga zid — begona ildiz. Javob: x = 2.

Grafik talqin: y = √(x + 7) — yarim parabola (faqat yuqori tarmog‘i), y = x + 1 — to‘g‘ri chiziq; ular bitta nuqtada, x = 2 da kesishadi. Begona x = −3 esa pastki tarmoq y = −√(x + 7) bilan kesishish nuqtasi — kvadratga ko‘targanda biz ikkala tarmoqni birlashtirib yuborgan edik.

§3. Ikki ildizli tenglamalar

• √f = √g ⇔ f = g va f ≥ 0 (yoki g ≥ 0 — qaysi biri soddaroq bo‘lsa).
• √f + √g = c: bitta ildizni yolg‘iz qoldirib, ikki marta kvadratga ko‘taramiz. Qaysi ildizni yolg‘iz qoldirish muhim emas, lekin murakkabroq ildizni yolg‘iz qoldirgan ma’qul — ikkinchi kvadratga ko‘tarish soddaroq bo‘ladi. Ikki ildizni bir tomonda qoldirib kvadratga ko‘tarish ham mumkin, lekin unda ildizlar ko‘paytmasi paydo bo‘ladi.

Misol

√(x + 5) + √x = 5 ni yeching.

1. Bitta ildizni yolg‘iz qoldiramiz: √(x + 5) = 5 − √x.
2. Kvadratga ko‘taramiz: x + 5 = 25 − 10√x + x.
3. 10√x = 20 → √x = 2 → x = 4.
4. Tekshiruv: √9 + √4 = 3 + 2 = 5. Javob: x = 4.

§4. Almashtirish va aniqlanish sohasi

Ifodada √x va x (yoki √f va f) birga bo‘lsa, t = √x ≥ 0 kiritamiz — tenglama kvadrat tenglamaga aylanadi. Manfiy t lar tashlab yuboriladi.
x − 5√x + 6 = 0 → t² − 5t + 6 = 0 → t = 2; 3 → x = 4; 9.
Ba’zan tenglamani yechmasdan aniqlanish sohasining o‘zi javob beradi: agar barcha ildizlar bir vaqtda mavjud bo‘ladigan x yo‘q bo‘lsa, tenglama yechimga ega emas.

Misol

√(x − 5) + √(3 − x) = 1 ni yeching.

1. Birinchi ildiz: x − 5 ≥ 0 → x ≥ 5.
2. Ikkinchi ildiz: 3 − x ≥ 0 → x ≤ 3.
3. x ≥ 5 va x ≤ 3 bir vaqtda bajarilmaydi — aniqlanish sohasi bo‘sh.
4. Javob: yechim yo‘q.

§5. Irratsional tengsizliklar

Tengsizliklarda tekshirish usuli ishlamaydi (yechimlar cheksiz ko‘p), shuning uchun faqat teng kuchli o‘tishlar:

Ikkinchi holatda ikki sistema: g manfiy bo‘lsa, tengsizlik ildiz mavjud bo‘lgan har qanday x da bajariladi (manfiy bo‘lmagan son manfiydan katta).

Misol (rasmiy namunadan)

√(x + 18) < 2 − x ni yeching.

1. x + 18 ≥ 0 → x ≥ −18; 2 − x > 0 → x < 2.
2. x + 18 < (2 − x)² = x² − 4x + 4 → x² − 5x − 14 > 0.
3. (x − 7)(x + 2) > 0 → x < −2 yoki x > 7.
4. Kesishma: [−18; −2).

Misol

√(x + 2) > x ni yeching.

1. 1-hol: x < 0 va x + 2 ≥ 0 → [−2; 0).
2. 2-hol: x ≥ 0 va x + 2 > x² → x² − x − 2 < 0 → −1 < x < 2 → [0; 2).
3. Birlashma: [−2; 2).

O‘zingizni tekshiring

1. √(2x − 1) = 3 ni yeching.

2. √(x + 2) = x ni yeching.

3. √(x − 3) = −2 ning nechta yechimi bor?

4. x − 5√x + 6 = 0 ni yeching.

5. √(x − 1) < 2 ni yeching.

6. √(3x + 1) = √(x + 5) ni yeching.

7. ∛(x + 6) = 2 ni yeching.

8. √(x − 4) + √(1 − x) = 3 ning nechta yechimi bor?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Kvadratga ko‘targandan keyin tekshirmaslik — begona ildizni javobga qo‘shish.
• (5 − √x)² ni 25 − x deb ochish — o‘rta had −10√x yo‘qoladi.
• Tengsizlikda ildiz ostidagi ifodaning ≥ 0 shartini unutish.
• √f > g da g < 0 holatini tashlab yuborish.
• Almashtirishda t = √x ≥ 0 shartini unutib, manfiy t dan x topish.
• Tengsizlikda «tekshirish» usulini qo‘llashga urinish — faqat teng kuchli o‘tishlar ishlaydi.