Kvadrat tenglamalar va Viyet teoremasi

Kvadrat tenglama — imtihonning «ustuni»: u o‘zi alohida savol sifatida ham, yuqori darajali, kasrli, irratsional, ko‘rsatkichli, trigonometrik tenglamalar ichida almashtirishdan keyin ham uchraydi. Shu sabab diskriminant va Viyet teoremasi avtomatik bo‘lishi kerak. Bu darsda formulani qayerdan kelib chiqishini, ildizlar soni qanday aniqlanishini, ildizlarni yechmasdan ular haqida ma’lumot olishni va parametrli savollarni ko‘ramiz.

§1. Ta’rif va to‘liqmas tenglamalar

Kvadrat tenglama — ax² + bx + c = 0 ko‘rinishidagi tenglama, bu yerda a ≠ 0. a — bosh koeffitsiyent, b — ikkinchi koeffitsiyent, c — ozod had. Agar a = 1 bo‘lsa, tenglama keltirilgan deyiladi: x² + px + q = 0. a = 0 bo‘lsa, tenglama chiziqli bo‘lib qoladi — bu holat parametrli masalalarda muhim.
Agar b yoki c nolga teng bo‘lsa, tenglama to‘liqmas deyiladi va diskriminantsiz yechiladi:

• c = 0: ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x = 0 yoki x = −b/a.
• b = 0: ax² + c = 0 → x² = −c/a; −c/a > 0 bo‘lsa x = ±√(−c/a), aks holda haqiqiy ildiz yo‘q.
• b = c = 0: ax² = 0 → x = 0.

Masalan, 3x² − 12 = 0 → x² = 4 → x = ±2; 5x² + 2x = 0 → x = 0 yoki x = −2/5; x² + 9 = 0 — haqiqiy ildiz yo‘q.
Ko‘pincha qilinadigan xato: x² = 4x ni x ga bo‘lib, x = 4 deyish. Bunda x = 0 ildizi yo‘qoladi. To‘g‘ri yo‘l — x(x − 4) = 0.

§2. Diskriminant

Formula to‘liq kvadrat ajratishdan kelib chiqadi. ax² + bx + c = 0 ni 4a ga ko‘paytiramiz: 4a²x² + 4abx + 4ac = 0, so‘ng b² qo‘shib-ayiramiz: (2ax + b)² = b² − 4ac. O‘ng tomon diskriminant deyiladi:

• D > 0 — ikki xil haqiqiy ildiz;
• D = 0 — bitta (karrali) ildiz x = −b/(2a);
• D < 0 — haqiqiy ildiz yo‘q, chunki kvadrat manfiy bo‘lolmaydi.

Ikkinchi koeffitsiyent juft bo‘lsa, hisob soddalashadi:

Masalan, x² − 6x + 5 = 0: k = −3, D/4 = 9 − 5 = 4, x = 3 ± 2 → 1; 5.
Yana bir foydali belgi: a + b + c = 0 bo‘lsa, ildizlar 1 va c/a; a − b + c = 0 bo‘lsa, ildizlar −1 va −c/a.

Misol

2x² − 3x − 2 = 0 ni yeching.

1. a = 2, b = −3, c = −2.
2. D = 9 − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25, √D = 5.
3. x = (3 ± 5)/4.
4. Javob: x₁ = 2, x₂ = −1/2.

§3. Viyet teoremasi

Ildizlar formulasini qo‘shsak va ko‘paytirsak, √D qisqarib ketadi:

Keltirilgan tenglamada: x₁ + x₂ = −p, x₁x₂ = q.
Teskari teorema: yig‘indisi s, ko‘paytmasi q bo‘lgan sonlar x² − sx + q = 0 ning ildizlari. Bu og‘zaki yechish uchun qulay: x² − 5x + 6 = 0 → ko‘paytmasi 6, yig‘indisi 5 → 2 va 3.
Ildizlarni topmasdan ularning simmetrik ifodalarini hisoblash mumkin:

Ildizlar ishorasi: c/a < 0 — ildizlar har xil ishorali; c/a > 0 va −b/a > 0 — ikkalasi musbat; c/a > 0 va −b/a < 0 — ikkalasi manfiy (D ≥ 0 bo‘lishi sharti bilan).
Viyet teoremasidan foydalanishdan oldin D ≥ 0 ekanini tekshirish kerak, aks holda haqiqiy ildizlar yo‘q.

Misol (rasmiy namunadan)

2x² − 5x − 3 = 0 ning ildizlari uchun 1/x₁ + 1/x₂ = ?

1. D = 25 + 24 = 49 > 0; x₁ + x₂ = 5/2, x₁x₂ = −3/2.
2. 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂)/(x₁x₂) = (5/2) : (−3/2) = −5/3.

§4. Kvadrat uchhadni ko‘paytuvchilarga ajratish

Ildizlari x₁, x₂ bo‘lgan kvadrat uchhad quyidagicha yoziladi:

Bu kasrlarni qisqartirishda va tengsizliklarni yechishda kerak bo‘ladi. Masalan, 2x² + 5x − 3 ning ildizlari 1/2 va −3, demak 2x² + 5x − 3 = 2(x − 1/2)(x + 3) = (2x − 1)(x + 3).
Grafik ma’nosi: y = ax² + bx + c parabola Ox o‘qini ildizlarda kesadi. D > 0 — ikki nuqtada, D = 0 — uchi o‘qqa tegadi, D < 0 — o‘qni kesmaydi. Parabola uchining abssissasi x₀ = −b/(2a) ildizlarning o‘rta arifmetigiga teng.

§5. Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar

• Bikvadrat ax⁴ + bx² + c = 0: t = x² ≥ 0 almashtirish.
• Takrorlanuvchi ifoda: t = (x − 1)², t = x² + x va hokazo.
• Kasrli tenglama: umumiy maxrajga keltirib, maxraj nolga aylanadigan ildizlarni tashlab yuboramiz.

Misol (rasmiy namunadan)

(x − 1)⁴ + 2x = x² + 73. Nechta haqiqiy ildiz va ularning ko‘paytmasi?

1. x² − 2x = (x − 1)² − 1. t = (x − 1)² ≥ 0 desak: t² − (t − 1) = 73.
2. t² − t − 72 = 0 → t = 9 yoki t = −8 (yaramaydi, t ≥ 0).
3. (x − 1)² = 9 → x = 4 yoki x = −2.
4. 2 ta ildiz, ko‘paytmasi −8.

§6. Parametrli savollar

Ildizlar soni diskriminant ishorasi bilan aniqlanadi:

• Bitta ildiz: D = 0 (va a ≠ 0; a parametrga bog‘liq bo‘lsa, a = 0 holini alohida tekshiring — tenglama chiziqli bo‘lib qoladi va bitta ildizga ega bo‘lishi mumkin).
• Ildiz yo‘q: D < 0; ikki ildiz: D > 0.
• Ildizlar har xil ishorali: c/a < 0 (bu holda D > 0 avtomatik bajariladi).

Misol

x² + kx + 9 = 0 qachon bitta ildizga ega?

1. Bosh koeffitsiyent 1 ≠ 0, shuning uchun shart D = 0.
2. D = k² − 36 = 0.
3. Javob: k = ±6.

O‘zingizni tekshiring

1. x² − 5x + 6 = 0 ni yeching.

2. x² + 6x + 9 = 0 ni yeching.

3. x² − 4x − 1 = 0 uchun x₁² + x₂² = ?

4. x⁴ − 5x² + 4 = 0 ni yeching.

5. Ildizlari −2 va 5 bo‘lgan keltirilgan kvadrat tenglamani yozing.

6. ax² − 4x + 1 = 0 qachon bitta ildizga ega?

7. x² − 7x + 10 = 0 ildizlari ayirmasining moduli.

8. 3x² − 7x + 2 = 0 ni yeching.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Viyetda x₁ + x₂ = b/a deb ishorani unutish (to‘g‘risi −b/a).
• D < 0 bo‘lsa ham Viyet bo‘yicha «haqiqiy ildizlar yig‘indisi»ni yozish.
• Bikvadrat tenglamada t < 0 ildizni tashlamaslik.
• Bosh koeffitsiyent parametr bo‘lganda a = 0 holatini e’tiborsiz qoldirish.
• x² = 4 dan faqat x = 2 ni yozish (x = ±2).
• x² = 4x ni x ga bo‘lib, x = 0 ildizni yo‘qotish.