Avval o‘rganing: Darajalar va ularning xossalari
Ildiz — darajaga teskari amal: 3² = 9 bo‘lgani uchun √9 = 3. Ildizlar geometriyada (Pifagor teoremasi, diagonal, masofa), fizikada (tezlik, tebranish davri) va tenglamalarni yechishda doimo uchraydi. Imtihonda ildiz chiqarish, ko‘paytuvchini ildizdan chiqarish va ildiz ostiga kiritish, maxrajni irratsionallikdan qutqarish, ildizlarni taqqoslash va «murakkab ildiz» (ildiz ichida ildiz) savollari muntazam keladi. Bu darsda har bir qoidaning sababi va eng ko‘p uchraydigan tuzoqlarni ko‘rib chiqamiz.
√a (a ≥ 0) — kvadrati a ga teng manfiy bo‘lmagan son. Bu arifmetik ildiz: √25 = 5, −5 emas! x² = 25 tenglamaning ikki ildizi bor (x = ±5), lekin √25 belgisi faqat musbatini bildiradi.
√a ≥ 0, (√a)² = a, √(a²) = |a|
√(a²) = |a| eng ko‘p unutiladigan xossa. Sababi: a manfiy bo‘lsa ham a² musbat, ildiz esa manfiy bo‘lmagan son qaytaradi. Masalan, √((−3)²) = √9 = 3, √((1 − √2)²) = |1 − √2| = √2 − 1, chunki 1 − √2 < 0.
Manfiy sondan kvadrat ildiz haqiqiy sonlarda mavjud emas: hech qanday haqiqiy sonning kvadrati manfiy bo‘lmaydi.
ⁿ√a — n-darajasi a ga teng son.
ⁿ√(aⁿ) = |a| (juft n), ⁿ√(aⁿ) = a (toq n)
Darajaga o‘tish: ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n) (a > 0). Bu ildizlarni daraja xossalari bilan hisoblash imkonini beradi: √a·∛a = a^(1/2 + 1/3) = a^(5/6) = ⁶√(a⁵).
√(ab) = √a·√b, √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0)
ᵏ√(ⁿ√a) = ᵏⁿ√a, ⁿ√(aᵐ) = ⁿᵏ√(aᵐᵏ)
Diqqat: √(a + b) ≠ √a + √b. Tekshiruv: √(9 + 16) = √25 = 5, lekin √9 + √16 = 3 + 4 = 7.
√50 − √18 + √8 ni soddalashtiring.
Maxrajda ildiz bo‘lsa, kasrni ildizsiz maxrajli ko‘rinishga keltirish odat — shunda kasrlarni taqqoslash va qo‘shish osonlashadi.
Qo‘shma ifoda: √a − √b uchun √a + √b, ko‘paytma a − b
(√5 + √3)/(√5 − √3) ni soddalashtiring.
√(a ± 2√b) = √x ± √y, bunda x + y = a, xy = b, x ≥ y
G‘oya: ildiz ostidagi ifodani to‘la kvadrat ko‘rinishiga keltirish, chunki (√x ± √y)² = x + y ± 2√(xy). Avval √ oldidagi koeffitsiyentni 2 ko‘rinishiga keltiramiz: 7 − 4√3 = 7 − 2√12; x + y = 7, xy = 12 → 4 va 3: √(7 − 4√3) = √4 − √3 = 2 − √3.
√(11 + 6√2) ni soddalashtiring.
(√(4 − √7) + √(4 + √7))² ni hisoblang.
Bir xil darajali ildizlarni ildiz ostidagi sonlar bo‘yicha taqqoslaymiz: √7 < √8. Har xil darajali ildizlarni umumiy darajaga keltiramiz yoki ikkalasini ham ko‘rsatkichlar EKUKi darajasiga ko‘taramiz.
a, b ≥ 0 bo‘lsa, a < b ⇔ aⁿ < bⁿ
√3 va ∛5 ni taqqoslang.
Harfli ifodalarda ildizni ko‘pincha «yangi o‘zgaruvchi» deb qarash qulay: a = (√a)² (a ≥ 0). Shunda qisqa ko‘paytirish formulalari ishlaydi:
a − b = (√a − √b)(√a + √b) (a, b ≥ 0)
a ± 2√(ab) + b = (√a ± √b)²
Bu kasrlarni qisqartirishga imkon beradi va aniqlanish sohasini (a ≥ 0, maxraj ≠ 0) yodda tutish talab qiladi.
(a − 4)/(√a + 2) ni soddalashtiring (a ≥ 0).
(√3 + 1)² − √12 ni hisoblang.