Maktab dasturi· 35 daqiqa· 1 ta savol
Avval o‘rganing: Kvadrat tenglamalar va Viyet teoremasi
Tengsizliklar tenglamalarga o‘xshab yechiladi, lekin javob odatda bitta son emas — oraliq yoki oraliqlar birlashmasi. Ular funksiyaning aniqlanish sohasini topishda, ishorasini aniqlashda, optimallashtirish va amaliy masalalarda ("kamida", "ko‘pi bilan") doimo uchraydi. Imtihonda eng ko‘p ishlatiladigan usul — oraliqlar usuli: u kvadrat, kasr-ratsional va yuqori darajali tengsizliklarning barchasini bir xil algoritm bilan yechadi. Bu darsda tengsizliklar xossalaridan boshlab, modulli tengsizliklar va klassik tengsizliklargacha ko‘rib chiqamiz.
f(x) > g(x) tengsizlikning yechimi — uni to‘g‘ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi barcha x lar to‘plami. Javob oraliqlar bilan yoziladi: qat’iy belgi (<, >) da chegara kirmaydi — ( ) qavs, noqat’iy (≤, ≥) da kiradi — [ ] qavs. Cheksizlik oldida har doim yumaloq qavs: (3; +∞).
Tengsizlikni yechish — uni teng kuchli soddaroq tengsizlikka almashtirish. Buning qoidalari:
−2x > 6 → x < −3
Nega manfiy songa ko‘paytirganda belgi almashadi? Son o‘qida 2 < 5, lekin −1 ga ko‘paytirsak −2 va −5 hosil bo‘ladi va endi −2 > −5 — tartib teskari bo‘ladi, chunki −1 ga ko‘paytirish o‘qni nolga nisbatan aks ettiradi.
Shu sababli ishorasi noma’lum ifodaga (masalan, x ga yoki maxrajga) ko‘paytirish mumkin emas.
ax > b ko‘rinishidagi tengsizlik:
a > 0 da x > b/a; a < 0 da x < b/a
a = 0 bo‘lsa, 0 · x > b hosil bo‘ladi: b < 0 da istalgan x yechim, b ≥ 0 da yechim yo‘q.
3x − 5 > 2x + 1 ni yeching.
ax² + bx + c > 0 ni yechish uchun parabolani tasavvur qilamiz:
(x − x₁)(x − x₂) ≤ 0 → [x₁; x₂]; > 0 → x < x₁ yoki x > x₂ (x₁ < x₂)
Masalan, x² − 5x + 6 ≤ 0 → [2; 3]; x² > 9 → x < −3 yoki x > 3.
x² − 2x − 15 < 0 ni yeching.
Kasr-ratsional va ko‘paytma ko‘rinishidagi tengsizliklar uchun universal algoritm:
Usul nega ishlaydi? Har bir (x − xᵢ) ko‘paytuvchi faqat xᵢ nuqtadan o‘tganda ishorasini o‘zgartiradi; nuqtalar orasida butun ifodaning ishorasi doimiy.
(5x + 3)/(x² + x − 2) > 1 ning butun yechimlari yig‘indisini toping.
Sistema — har birining yechimlari kesishmasi; majmua ("yoki") — birlashmasi. Qo‘sh tengsizlik a < f(x) < b da har uch qismga bir xil amal bajariladi: −7 < 2x + 1 < 7 → −4 < x < 3.
Modul — son o‘qidagi masofa. Shundan:
|f(x)| < a (a > 0) ⇔ −a < f(x) < a
|f(x)| > a ⇔ f(x) < −a yoki f(x) > a
Masalan, |x − 3| < 5 — 3 dan masofasi 5 dan kichik nuqtalar: (−2; 8).
2x − 1 > 3, x + 4 ≤ 10 sistemaning butun yechimlari sonini toping.
|2x + 1| ≥ 3 ni yeching.
Ba’zi tengsizliklar barcha sonlar uchun to‘g‘ri va isbotlarda, eng katta/kichik qiymatni topishda ishlatiladi:
a² + b² ≥ 2ab, chunki (a − b)² ≥ 0
Koshi tengsizligi: a, b ≥ 0 da (a + b)/2 ≥ √(ab), tenglik a = b da
a > 0 da a + 1/a ≥ 2
Masalan, perimetri 20 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar ichida eng katta yuzaga kvadrat ega: a + b = 10, √(ab) ≤ 5, demak ab ≤ 25.