Sinuslar va kosinuslar teoremasi

Pifagor teoremasi faqat to‘g‘ri burchakli uchburchakda ishlaydi. Ixtiyoriy uchburchakni "yechish" — ya’ni ma’lum elementlardan (tomonlar va burchaklardan) qolganlarini topish uchun sinuslar va kosinuslar teoremalari kerak. Ular, shuningdek, yuzani topishning bir necha usulini, mediana va diagonallar formulalarini beradi. Bu teoremalar geodeziya, navigatsiya va fizikada (kuchlarni qo‘shish) ham keng qo‘llanadi.

§1. Belgilashlar va asosiy g‘oya

Uchburchak ABC da tomonlar uchlar qarshisidagi kichik harflar bilan belgilanadi: a = BC (burchak A qarshisida), b = AC, c = AB. Bu kelishuv teoremalarni to‘g‘ri yozish uchun juda muhim: a har doim A burchakka qarama-qarshi turadi.
Uchburchak uchta element bilan to‘liq aniqlanadi (kamida bittasi tomon bo‘lishi kerak). Shunga ko‘ra to‘rt xil holat bor:

• uch tomon (SSS) — kosinuslar teoremasi bilan burchaklar topiladi;
• ikki tomon va ular orasidagi burchak (SAS) — kosinuslar teoremasi bilan uchinchi tomon;
• bir tomon va ikki burchak (ASA, AAS) — avval 180° dan uchinchi burchak, keyin sinuslar teoremasi;
• ikki tomon va ulardan biri qarshisidagi burchak (SSA) — sinuslar teoremasi, lekin javob ikkita, bitta yoki hech qancha bo‘lishi mumkin.

§2. Kosinuslar teoremasi

Xuddi shunday: b² = a² + c² − 2ac cos B, c² = a² + b² − 2ab cos C.
Nega to‘g‘ri? A ni koordinata boshiga, AB ni Ox o‘qi bo‘ylab joylaymiz: B(c; 0), C(b cos A; b sin A). Masofa formulasi bo‘yicha a² = (b cos A − c)² + b² sin² A = b²(cos² A + sin² A) − 2bc cos A + c² = b² + c² − 2bc cos A.
A = 90° bo‘lsa, cos A = 0 va Pifagor teoremasi hosil bo‘ladi — kosinuslar teoremasi uning umumlashmasi.
Qachon qo‘llanadi: ikki tomon va ular orasidagi burchak berilganda (uchinchi tomonni topish), yoki uch tomon berilganda (burchakni topish).

Burchak turini aniqlash: cos A < 0 (ya’ni a² > b² + c²) — A o‘tmas; cos A > 0 — o‘tkir. O‘tmas burchak uchun cos manfiy, shuning uchun −2bc cos A musbat bo‘lib, tomon kattalashadi.
Eslab qoling: cos 60° = ½, cos 120° = −½, cos 45° = √2/2, cos 135° = −√2/2, cos 150° = −√3/2.

Misol

b = 5, c = 8, A = 60°. a ni toping.

1. a² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · ½.
2. a² = 89 − 40 = 49.
3. a = 7.

Misol

Tomonlari 5, 7, 8 bo‘lgan uchburchakda 7 qarshisidagi burchakni toping.

1. cos B = (5² + 8² − 7²)/(2 · 5 · 8).
2. = (25 + 64 − 49)/80 = 40/80 = ½.
3. B = 60°.

§3. Sinuslar teoremasi

Nega to‘g‘ri? Yuzani ikki xil yozamiz: S = ½ bc sin A = ½ ac sin B. Bundan b sin A = a sin B, ya’ni a/sin A = b/sin B. 2R ga tengligini ko‘rish uchun B uchidan BD diametr o‘tkazamiz: BCD uchburchak to‘g‘ri burchakli (burchak diametrga tiralgan), ∠D = ∠A (bir yoyga tiralgan), shuning uchun a = BD · sin D = 2R sin A.
Qachon qo‘llanadi: ikki burchak va bir tomon berilganda; tomon va qarama-qarshi burchakdan R ni topishda.
Ikki ma’noli holat (`SSA`). sin B ma’lum bo‘lsa, B ikkita bo‘lishi mumkin: B va 180° − B, chunki ularning sinuslari teng. Ikkinchi qiymat A + B < 180° shartini qanoatlantirsa, ikkita turli uchburchak mavjud. sin B > 1 chiqsa, uchburchak umuman yo‘q.

Misol

A = 45°, B = 60°, a = 2√2. b ni toping.

1. b = a · sin B / sin A.
2. b = 2√2 · (√3/2) : (√2/2).
3. b = 2√3.

Misol

a = 5, b = 8, A = 30°. B burchakni toping.

1. sin B = b · sin A / a = 8 · ½ / 5 = 0,8.
2. B ≈ 53,13° yoki B ≈ 180° − 53,13° = 126,87°.
3. Ikkala holatda ham A + B < 180°, demak shartni ikkita uchburchak qanoatlantiradi.

§4. Uchburchak yuzi formulalari

S = ½ ab sin C balandlikdan kelib chiqadi: b tomonga tushirilgan balandlik h = a sin C. S = abc/(4R) esa shu formulaga sin C = c/(2R) ni qo‘yishdan chiqadi. Formulani berilganlarga qarab tanlang: uch tomon — Geron, ikki tomon va burchak — sinusli formula.

Misol

Tomonlari 13, 14, 15 bo‘lgan uchburchak yuzini, R va r ni toping.

1. p = (13 + 14 + 15)/2 = 21.
2. S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84.
3. R = abc/(4S) = 2730/336 = 8,125; r = S/p = 84/21 = 4.

§5. Mediana, parallelogramm va boshqa natijalar

• Parallelogramm diagonallari: d₁² + d₂² = 2(a² + b²) — qo‘shni burchaklar kosinuslari qarama-qarshi ishorali bo‘lgani uchun kosinuslar teoremasini ikki marta qo‘llab, qo‘shamiz.
• Mediana: mₐ² = (2b² + 2c² − a²)/4 — mediana uchburchakni parallelogrammgacha to‘ldirsak, uning diagonalining yarmi bo‘ladi.
• Bissektrisa qarama-qarshi tomonni yon tomonlarga proporsional bo‘laklarga bo‘ladi.

Misol

Tomonlari 13, 14, 15 bo‘lgan uchburchakda 14 ga tushirilgan medianani toping.

1. m² = (2 · 13² + 2 · 15² − 14²)/4.
2. = (338 + 450 − 196)/4 = 592/4 = 148.
3. m = √148 = 2√37.

§6. Amaliy masalalar

Kosinuslar teoremasi ikki obyekt orasidagi masofani to‘g‘ridan to‘g‘ri o‘lchash mumkin bo‘lmaganda ishlatiladi. Masalan, ikki kema portdan 60° burchak ostida chiqib, birinchisi 30 km, ikkinchisi 40 km yursa, ular orasidagi masofa: √(900 + 1600 − 2 · 30 · 40 · ½) = √1300 = 10√13 ≈ 36,06 km.
Sinuslar teoremasi esa daryoning narigi qirg‘og‘idagi nuqtagacha masofani topishda qo‘l keladi: bir qirg‘oqda baza kesmasi o‘lchanadi, uning uchlaridan nuqtaga qaragan burchaklar o‘lchanadi, keyin uchburchak ASA holatida yechiladi.

O‘zingizni tekshiring

1. b = 3, c = 5, A = 120°. a ni toping.

2. Tomonlari 4, 5, 7 bo‘lgan uchburchak qanday turdagi?

3. a = 6, A = 30°. R ni toping.

4. Tomonlari 5, 5, 6 bo‘lgan uchburchak yuzini toping.

5. a = 4, b = 10, C = 150°. Yuzni toping.

6. Parallelogramm tomonlari 3 va 5, bir diagonali 6. Ikkinchi diagonalni toping.

7. A = 30°, B = 45°, a = 4. b ni toping.

8. Tomonlari 13, 14, 15 uchburchakda ichki aylana radiusini toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Kosinuslar teoremasida −2bc cos A ishorasini unutish yoki cos ni burchak o‘tmas bo‘lganda musbat olish.
• Sinuslar teoremasida 2R o‘rniga R yozish.
• Tomon va unga qarama-qarshi bo‘lmagan burchakni juftlash.
• Geron formulasida yarim perimetr o‘rniga to‘liq perimetrni olish.
• SSA holatida ikkinchi yechim 180° − B ni tekshirmaslik.
• Uch tomon berilganda eng katta burchakni emas, boshqa burchakni tekshirib, uchburchak turini noto‘g‘ri aniqlash.