Burchak o‘lchovlari va trigonometrik nisbatlar

Trigonometriya burchak va tomonlarni bog‘laydi. U uchburchaklarni yechishda, tebranish va to‘lqinlarni (tovush, o‘zgaruvchan tok) tasvirlashda, navigatsiya va muhandislikda ishlatiladi. Uning asosi — birlik aylana: sinus va kosinusni aylanadagi nuqtaning koordinatalari deb tushunsangiz, ishoralar, qiymatlar va keltirish formulalari yodlash emas, mantiq bo‘lib qoladi. Bu darsda burchak o‘lchovlari, birlik aylana, asosiy qiymatlar, ishoralar, davriylik va to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi ta’riflar tushuntiriladi.

§1. Burchak o‘lchovlari: gradus va radian

Gradusda to‘liq aylana 360° ga bo‘linadi. Matematikada esa ko‘proq radian ishlatiladi.
Radian — aylana yoyi uzunligi radiusga teng bo‘lgan markaziy burchak. To‘liq aylana uzunligi 2πR, ya’ni unda 2π ta radius sig‘adi — demak to‘liq burchak 2π radian.

Asosiy burchaklar: 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 135° = 3π/4, 150° = 5π/6, 180° = π, 270° = 3π/2, 360° = 2π.
Radian qulay, chunki yoy va sektor formulalari juda sodda bo‘ladi:

Burchak birligi ko‘rsatilmagan bo‘lsa (sin 2), u radianda deb tushuniladi.

Misol

210° ni radianga o‘tkazing.

1. Formula: α = 210 · π/180.
2. 210/180 = 7/6 ga qisqartiramiz.
3. Javob: 7π/6.

§2. Birlik aylana va ta’riflar

Markazi koordinata boshida, radiusi 1 bo‘lgan aylana — birlik aylana. Burchak Ox o‘qining musbat yo‘nalishidan o‘lchanadi: soat miliga teskari burish — musbat burchak, soat mili bo‘yicha — manfiy.

Ya’ni kosinus — nuqtaning abssissasi, sinus — ordinatasi. Bu ta’rif istalgan burchak uchun ishlaydi, nafaqat o‘tkir burchak uchun.
Ta’rifdan bevosita xulosalar:

• −1 ≤ sin α ≤ 1, −1 ≤ cos α ≤ 1, chunki koordinatalar radiusdan oshmaydi.
• tg α va ctg α istalgan qiymatni oladi.
• tg α α = π/2 + πk da, ctg α α = πk da aniqlanmagan (maxraj nol).
• tg α — x = 1 urinma to‘g‘ri chiziqda OP nur kesib o‘tgan nuqtaning ordinatasi.

Misol

Birlik aylanada 120° burchakka mos P nuqtaning koordinatalarini va tg 120° ni toping.

1. 120° — II chorak, Ox ning manfiy yo‘nalishi bilan 60° hosil qiladi.
2. P(−cos 60°; sin 60°) = (−1/2; √3/2), ya’ni cos 120° = −1/2, sin 120° = √3/2.
3. tg 120° = (√3/2) : (−1/2) = −√3.

§3. Asosiy qiymatlar jadvali

• sin 0 = 0, sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1
• cos 0 = 1, cos 30° = √3/2, cos 45° = √2/2, cos 60° = 1/2, cos 90° = 0
• tg 0 = 0, tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3, tg 90° — mavjud emas
• sin 180° = 0, cos 180° = −1, sin 270° = −1, cos 270° = 0

Eslab qolish usuli: sin qiymatlari √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2; cos — teskari tartibda.
Qayerdan kelib chiqadi? 45° uchun teng yonli to‘g‘ri burchakli uchburchakni olamiz: katetlar 1, gipotenuza √2, demak sin 45° = 1/√2 = √2/2. 30° va 60° uchun tomoni 2 bo‘lgan teng tomonli uchburchakni balandlik bilan bo‘lamiz: katetlar 1 va √3, gipotenuza 2.

§4. Choraklar bo‘yicha ishoralar va juft-toqlik

Sabab: ishora nuqtaning koordinatalari ishorasidan kelib chiqadi. II chorakda nuqtaning x i manfiy, y i musbat — cos < 0, sin > 0, shuning uchun tg < 0. III chorakda ikkala koordinata manfiy, ularning bo‘linmasi tg esa musbat.
Juft-toqlik: −α burchakka mos nuqta α nikining Ox ga nisbatan simmetrigi: abssissa saqlanadi, ordinata ishorasini o‘zgartiradi.

Misol

sin 240° ni toping.

1. 240° = 180° + 60° — III chorak, sin < 0.
2. Mos o‘tkir burchak 60°.
3. sin 240° = −sin 60° = −√3/2.

§5. Davriylik va katta burchaklar

Burchakka to‘liq aylana 360° (2π) qo‘shilsa, nuqta joyida qoladi, shuning uchun funksiya qiymati o‘zgarmaydi.

sin va cos ning eng kichik musbat davri 2π, tg va ctg niki — π (qarama-qarshi nuqtalarda sinus va kosinus birga ishorasini o‘zgartiradi, nisbati esa saqlanadi).
Katta burchak bilan ishlash tartibi: avval 360° ga karralisini tashlab yuboramiz, keyin chorakni va mos o‘tkir burchakni aniqlaymiz.

Misol

sin 750° va cos(−120°) ni hisoblang.

1. 750° = 2 · 360° + 30°, demak sin 750° = sin 30° = 1/2.
2. cos(−120°) = cos 120° (kosinus juft).
3. 120° — II chorak, cos 120° = −cos 60° = −1/2.

§6. To‘g‘ri burchakli uchburchakda

O‘tkir burchak uchun ta’riflar birlik aylanadagi ta’rif bilan mos tushadi (uchburchakni aylanaga joylab, o‘xshashlikdan foydalanish mumkin):

Bundan amaliy formulalar: a = c · sin α, b = c · cos α, a = b · tg α. Masalan, balandlikni o‘lchash: daraxtdan 20 m uzoqlikdan uchiga 30° burchak ostida qaralsa, balandlik 20 · tg 30° = 20√3/3 ≈ 11,5 m.

Misol

Gipotenuzasi 10, α = 30°. Katetlarni toping.

1. Qarama-qarshi katet: 10 · sin 30° = 10 · 1/2 = 5.
2. Yopishgan katet: 10 · cos 30° = 10 · √3/2 = 5√3.
3. Tekshiruv: 25 + 75 = 100 — to‘g‘ri.

O‘zingizni tekshiring

1. 5π/4 ni gradusga o‘tkazing.

2. cos 150° ni hisoblang.

3. tg 315° ni hisoblang.

4. α III chorakda. sin α · cos α ning ishorasi qanday?

5. Radiusi 6, markaziy burchagi π/3 bo‘lgan yoy uzunligini toping.

6. sin²30° + cos²60° + tg²45° ni hisoblang.

7. cos(13π/3) ni hisoblang.

8. Radiusi 6, markaziy burchagi π/6 bo‘lgan sektor yuzini toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Gradus va radianni aralashtirish (sin 30 — radianda boshqa son).
• II va IV choraklarda ishorani adashtirish.
• tg 90° ni 0 yoki 1 deb yozish (mavjud emas).
• sin va cos ni yopishgan/qarama-qarshi katet bo‘yicha almashtirib yuborish.
• sin(−α) ni sin α ga teng deb olish (sinus toq funksiya).
• Katta burchakda 360° ga karralisini tashlamay, chorakni noto‘g‘ri aniqlash.