Arifmetik va geometrik progressiya

Progressiyalar — ma’lum qonun bo‘yicha tuzilgan sonlar ketma-ketligi. Arifmetik progressiyada har safar bir xil son qo‘shiladi, geometrik progressiyada esa bir xil songa ko‘paytiriladi. Imtihonda formulani bilish yetmaydi: hadlar orasidagi bog‘lanishlarni ko‘ra bilish va sistemani to‘g‘ri tuzish kerak.

§1. Arifmetik progressiya va uning umumiy hadi

Arifmetik progressiya — ikkinchi hadidan boshlab har bir hadi oldingisiga bir xil d sonni (ayirmani) qo‘shishdan hosil bo‘ladigan ketma-ketlik: aₙ₊₁ = aₙ + d.

• d > 0 — o‘suvchi, d < 0 — kamayuvchi, d = 0 — o‘zgarmas.

a₁ dan aₙ gacha d ni n − 1 marta qo‘shamiz, shuning uchun:

Xarakteristik xossa: har bir had (birinchisidan tashqari) qo‘shnilarining o‘rta arifmetigi:

Bu xossa uchta son progressiya tashkil etishini tekshirishda ishlatiladi: a, b, c uchun 2b = a + c.

Misol

a₃ = 7, a₇ = 19. a₂₀ ni toping.

1. a₇ − a₃ = 4d = 12 → d = 3.
2. a₁ = a₃ − 2d = 1.
3. a₂₀ = 1 + 19·3 = 58.

§2. Arifmetik progressiya yig‘indisi

Gauss usuli: yig‘indini ikki marta — oldinga va orqaga — yozib qo‘shamiz. Har bir juftlik a₁ + aₙ ga teng, juftliklar n ta, natija ikki baravar ko‘p:

Teskari bog‘lanish ham foydali:

Misol

7 ga bo‘linadigan barcha ikki xonali sonlar yig‘indisini toping.

1. Birinchisi 14, oxirgisi 98, d = 7.
2. Hadlar soni: (98 − 14)/7 + 1 = 13.
3. S = (14 + 98)·13/2 = 56·13 = 728.

Misol

a₁₀ + a₁₂ = 25, a₂₀ + a₂₂ = 45. a₁₁ + a₂₁ ni toping.

1. Xarakteristik xossa: a₁₀ + a₁₂ = 2a₁₁ → a₁₁ = 12,5.
2. Xuddi shunday 2a₂₁ = 45 → a₂₁ = 22,5.
3. a₁₁ + a₂₁ = 35.

§3. Geometrik progressiya

Geometrik progressiya — har bir hadi oldingisini bir xil q ≠ 0 songa (maxrajga) ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi: bₙ₊₁ = bₙ·q, b₁ ≠ 0.

Yig‘indi formulasi qayerdan? Sₙ ni q ga ko‘paytirib, Sₙ dan ayirsak, o‘rtadagi hadlar qisqaradi: qSₙ − Sₙ = b₁qⁿ − b₁.
q < 0 bo‘lsa, hadlar ishorasi navbatlashadi — buni javobda unutmang.

Misol

Geometrik progressiyada b₃ = 18, S₃ = 26. b₁ ni toping.

1. b₁ + b₁q = 8, b₁q² = 18.
2. Bo‘lamiz: (1 + q)/q² = 4/9 → 4q² − 9q − 9 = 0.
3. D = 81 + 144 = 225, q = (9 ± 15)/8 → q = 3 yoki q = −3/4.
4. b₁ = 18/q²: b₁ = 2 yoki b₁ = 32. Tekshiruv: 32 − 24 + 18 = 26 — to‘g‘ri.

§4. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

|q| < 1 bo‘lsa, qⁿ → 0, va Sₙ chekli songa intiladi:

Davriy kasrni oddiy kasrga aylantirishda qo‘llaniladi:

• 0,(3) = 0,3 + 0,03 + … = 0,3/(1 − 0,1) = 1/3;
• 0,(27) = 0,27/(1 − 0,01) = 27/99 = 3/11.

Misol

Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi 12, birinchi hadi 4. Maxrajini toping.

1. 4/(1 − q) = 12 → 1 − q = 1/3.
2. q = 2/3 (|q| < 1 — shart bajariladi).

§5. Matnli masalalar

Belgi: «har safar bir xil songa ortadi» — arifmetik, «har safar necha marta ortadi / foizga o‘sadi» — geometrik.

Misol

Amfiteatrning birinchi qatorida 20 o‘rin, har keyingi qatorda 2 tadan ko‘p. 15 qatorda jami nechta o‘rin bor?

1. a₁ = 20, d = 2, n = 15.
2. S = (2·20 + 14·2)·15/2 = 68·15/2 = 510.

§6. Xarakteristik xossa va aralash masalalar

Progressiyaning har bir hadi (birinchisidan tashqari) qo‘shnilari orqali ifodalanadi. Bu xossa progressiyani to‘liq tavsiflaydi, shuning uchun u xarakteristik xossa deyiladi:

Ikki xossani bir masalada birlashtiradigan «aralash» masalalar ko‘p uchraydi. Ularni yechishda belgilashni to‘g‘ri tanlash yarim ish:

• Arifmetik progressiyani tashkil etuvchi uchta sonni a − d, a, a + d deb olish qulay — yig‘indi 3a ga teng bo‘lib, d darhol yo‘qoladi.
• Geometrik progressiyadagi uchta sonni b/q, b, bq deb olish qulay — ko‘paytma b³ ga teng.
• Ikki had berilsa (aₘ va aₖ), ayirmasidan d topiladi: aₖ − aₘ = (k − m)d.

Masala ikki javobli bo‘lishi mumkin: kvadrat tenglama ikkita d (yoki q) bersa, ikkalasini ham shart bilan tekshirib, mosini qoldiramiz. Agar shartda «o‘suvchi» yoki «musbat hadli» deyilmagan bo‘lsa, ikkala javob ham to‘g‘ri bo‘ladi.

Misol

Uchta son yig‘indisi 15 bo‘lgan arifmetik progressiyani tashkil etadi. Ularga mos ravishda 1, 4 va 19 qo‘shilsa, geometrik progressiya hosil bo‘ladi. Sonlarni toping.

1. Sonlar 5 − d, 5, 5 + d (chunki 3a = 15 → a = 5).
2. Yangi sonlar: 6 − d, 9, 24 + d.
3. Xarakteristik xossa: 9² = (6 − d)(24 + d) → 81 = 144 − 18d − d² → d² + 18d − 63 = 0.
4. d = 3 yoki d = −21.
5. d = 3: 2, 5, 8 → 3, 9, 27 (q = 3). d = −21: 26, 5, −16 → 27, 9, 3 (q = 1/3). Ikkala javob ham to‘g‘ri.

O‘zingizni tekshiring

1. a₁ = 5, d = −3. a₁₂ ni toping.

2. 2, 5, 8, … progressiyaning dastlabki 20 ta hadi yig‘indisi.

3. b₁ = 3, q = 2. b₆ va S₆ ni toping.

4. 1, x, 9 musbat hadli geometrik progressiya. x = ?

5. 8 + 4 + 2 + … cheksiz yig‘indini toping.

6. Arifmetik progressiyada Sₙ = n² + 3n. aₙ formulasini toping.

7. Arifmetik progressiyani tashkil etuvchi uchta sonning yig‘indisi 15, ko‘paytmasi 80. Sonlarni toping.

8. Arifmetik progressiyada a₃ = 7, a₇ = 19. a₁ va d ni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• aₙ = a₁ + nd deb yozish — to‘g‘risi (n − 1)d.
• Hadlar sonini (oxirgi − birinchi)/d deb hisoblash va + 1 ni unutish.
• Geometrik progressiyada manfiy q holatini tashlab yuborish (yuqoridagi misolda ikkinchi javob b₁ = 32).
• S = b₁/(1 − q) ni |q| ≥ 1 da qo‘llash.
• bₙ² = bₙ₋₁·bₙ₊₁ dan ildiz olganda ishorani hisobga olmaslik (musbatlik sharti berilmagan bo‘lsa, ±).
• Kvadrat tenglamadan chiqqan ikkinchi d (yoki q) ni tekshirmasdan tashlab yuborish — u ham shartni qanoatlantirishi mumkin.