Funksiya, aniqlanish va qiymatlar sohasi

Funksiya — matematikaning eng muhim tushunchalaridan biri: tenglamalar, grafiklar, hosila va integral — hammasi shu tushunchaga tayanadi. Imtihonda aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi, murakkab va teskari funksiya hamda grafik almashtirishlar haqida savollar deyarli har doim uchraydi. Quyida har birini sababi bilan tushuntiramiz.

§1. Funksiya ta’rifi va berilish usullari

Funksiya — X to‘plamdagi har bir x songa Y to‘plamdagi yagona y sonni mos qo‘yuvchi qoida. Yoziladi: y = f(x). Bu yerda x — erkli o‘zgaruvchi (argument), y — erksiz o‘zgaruvchi (funksiya qiymati).
Asosiy so‘z — yagona. Agar biror x ga ikki xil y mos kelsa, bu funksiya emas.

• y = x² — funksiya: har bir x ga bitta y.
• y² = x — y ning x ga bog‘liq funksiyasi emas: x = 4 da y = 2 va y = −2.

Vertikal chiziq testi: grafikni har qanday vertikal to‘g‘ri chiziq ko‘pi bilan bitta nuqtada kesib o‘tsa, u funksiya grafigi bo‘ladi. Shuning uchun aylana funksiya grafigi emas.
Funksiya uch xil usulda beriladi:

• analitik (formula bilan): f(x) = 2x − 3;
• jadval bilan (har bir x ga qiymati yozilgan);
• grafik bilan (koordinata tekisligidagi nuqtalar to‘plami).

f(a) yozuvi «x = a dagi qiymat» degani: f(x) = x² − 3x bo‘lsa, f(−2) = 4 + 6 = 10.

§2. Aniqlanish sohasi

Aniqlanish sohasi D(f) — formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha x lar to‘plami. Uni topish uchun «taqiqlangan» amallarni yodda tutamiz:

Formulada bir nechta shart bo‘lsa, ularning hammasi bir vaqtda bajarilishi kerak — ya’ni sistema tuziladi va yechimlar kesishmasi olinadi.
Ko‘phad (x³ − 2x + 7 kabi) va toq darajali ildiz (∛x) barcha haqiqiy sonlarda aniqlangan.

Misol

f(x) = √(x + 3)/(x − 2) + lg(5 − x) funksiyaning aniqlanish sohasidagi butun sonlar nechta?

1. Ildiz osti: x + 3 ≥ 0 → x ≥ −3.
2. Maxraj: x − 2 ≠ 0 → x ≠ 2.
3. Logarifm: 5 − x > 0 → x < 5.
4. Kesishma: D(f) = [−3; 2) ∪ (2; 5).
5. Butun sonlar: −3, −2, −1, 0, 1, 3, 4 — jami 7 ta.

§3. Qiymatlar sohasi

Qiymatlar sohasi E(f) — funksiya qabul qiladigan barcha y lar. Uni topishning asosiy usullari:

• Ma’lum chegaralardan foydalanish: x² ≥ 0, √u ≥ 0, |u| ≥ 0, −1 ≤ sin x ≤ 1, aˣ > 0.
• To‘liq kvadrat ajratish: x² − 4x + 7 = (x − 2)² + 3 ≥ 3 → E = [3; +∞).
• `x` ni `y` orqali ifodalash: tenglama x ga nisbatan yechimga ega bo‘ladigan y lar — qiymatlar sohasi.

Misol

y = 3 − 2sin x ning qiymatlar sohasi.

1. −1 ≤ sin x ≤ 1.
2. −2 ga ko‘paytiramiz (tengsizlik belgilari almashadi): −2 ≤ −2sin x ≤ 2.
3. 3 qo‘shamiz: 1 ≤ y ≤ 5. Javob: E = [1; 5].

Misol

y = (2x + 1)/(x − 1) ning qiymatlar sohasi.

1. y(x − 1) = 2x + 1 → x(y − 2) = y + 1.
2. y ≠ 2 bo‘lsa x = (y + 1)/(y − 2) — yechim bor. y = 2 da 0 = 3 — yechim yo‘q.
3. Javob: E = (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

§4. Murakkab va teskari funksiya

Murakkab funksiya f(g(x)) — avval g(x) hisoblanadi, natija f ga qo‘yiladi. Tartib muhim: odatda f(g(x)) ≠ g(f(x)).
f(x) = x² − 1, g(x) = 3 − 2x bo‘lsa:

`f` ni topish masalasi. f(x + 1) = x² + 3x berilgan bo‘lsa, t = x + 1 deb belgilaymiz, x = t − 1:
f(t) = (t − 1)² + 3(t − 1) = t² + t − 2, demak f(x) = x² + x − 2.
Teskari funksiya f⁻¹ — f ning ishini «orqaga qaytaradi»: f(a) = b bo‘lsa, f⁻¹(b) = a. U faqat har xil x larga har xil y mos keladigan (masalan, monoton) funksiyada mavjud.
Topish algoritmi:

1. y = f(x) dan x ni ifodalaymiz.
2. x va y ning o‘rnini almashtiramiz.

Masalan, y = 2x + 3 → x = (y − 3)/2 → f⁻¹(x) = (x − 3)/2.

§5. Grafik almashtirishlar

Ma’lum grafikdan yangisini qurish uchun quyidagi qoidalar ishlatiladi:

Nega f(x − 2) o‘ngga suriladi? Chunki eski grafikdagi x = 0 nuqtadagi qiymatni endi x − 2 = 0, ya’ni x = 2 da olamiz — hamma narsa 2 birlik o‘ngga ko‘chadi.

Misol

y = x² grafigidan y = (x − 2)² + 1 qanday hosil bo‘ladi va uchi qayerda?

1. (x − 2)² — o‘ngga 2 birlik.
2. + 1 — yuqoriga 1 birlik.
3. Uch (0; 0) dan (2; 1) ga ko‘chadi.

O‘zingizni tekshiring

1. y = √(6 − 2x) ning aniqlanish sohasini toping.

2. y = 1/(x² − 9) ning aniqlanish sohasini toping.

3. y = 2cos x − 1 ning qiymatlar sohasini toping.

4. f(x) = 2x + 1, g(x) = x². f(g(2)) va g(f(2)) ni toping.

5. f(2x − 1) = 4x + 3 bo‘lsa, f(x) ni toping.

6. f(x) = (x + 4)/3 ga teskari funksiyani toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• f(g(x)) va g(f(x)) ni adashtirish — avval ichki funksiya hisoblanadi.
• f(x − 2) ni chapga surilish deb o‘ylash (aslida o‘ngga).
• Aniqlanish sohasida shartlardan birini (masalan, maxrajni) unutish yoki shartlar kesishmasini emas, birlashmasini olish.
• Ildiz va logarifmni adashtirish: ildiz ostida ≥ 0, logarifm ostida qat’iy > 0.
• Manfiy songa ko‘paytirganda tengsizlik belgisini almashtirmaslik (qiymatlar sohasini topishda).
• Teskari funksiyani 1/f(x) deb tushunish: f⁻¹ — bu daraja emas.