Logarifm va logarifmik tenglamalar

Logarifm — «sonni qaysi darajaga ko‘tarish kerak?» degan savolning javobi. U ko‘rsatkichli tenglamalarni yechish, katta sonlar bilan ishlash va murakkab ifodalarni soddalashtirish uchun kerak; fizika, kimyo (pH), iqtisod (murakkab foiz) masalalarida ham uchraydi. Imtihonda logarifmik ifodani hisoblash, tenglama va tengsizlik yechish deyarli har doim bo‘ladi. Har bir logarifmik masalaning birinchi qadami — aniqlanish sohasi: shu qadam tashlab ketilsa, begona ildizlar paydo bo‘ladi.

§1. Ta’rif

b sonning a asosga ko‘ra logarifmi — b ni hosil qilish uchun a ni ko‘tarish kerak bo‘lgan daraja ko‘rsatkichi:

Shartlarning sababi: musbat asosning har qanday darajasi musbat, shuning uchun manfiy son yoki nolning logarifmi yo‘q; a = 1 bo‘lsa, 1ᶜ = 1 va boshqa sonlarni hosil qilib bo‘lmaydi.
Misollar: log₂ 32 = 5, chunki 2⁵ = 32; log₃(1/9) = −2, chunki 3⁻² = 1/9; log₃(1/27) = −3; log₄ 2 = 1/2, chunki 4^(1/2) = 2.
Ikki maxsus logarifm bor:

• lg b — o‘nli logarifm (asos 10): lg 1000 = 3, lg 0,01 = −2.
• ln b — natural logarifm (asos e ≈ 2,718): ln e = 1, ln 1 = 0.

§2. Asosiy ayniyat va eng sodda qiymatlar

Ta’rifdagi c ni aᶜ = b ga qo‘ysak, asosiy logarifmik ayniyat hosil bo‘ladi:

Masalan, 5^(log₅ 7) = 7; 2^(2 + log₂ 5) = 2² · 2^(log₂ 5) = 4 · 5 = 20; 9^(log₃ 2) = 3^(2 log₃ 2) = 3^(log₃ 4) = 4.
Ayniyatdan foydalanishning kaliti — daraja asosini logarifm asosiga moslash. Asoslar har xil bo‘lsa (9 va 3), avval ularni bir asosga keltiramiz.

§3. Xossalar

Logarifm xossalari daraja xossalarining «tarjimasi»: darajalar ko‘paytirilganda ko‘rsatkichlar qo‘shiladi, shuning uchun ko‘paytmaning logarifmi logarifmlar yig‘indisiga teng. b > 0, c > 0 uchun:

Diqqat: log_a(b + c) uchun formula yo‘q, log_a b · log_a c ham log_a(bc) emas.
Juft daraja chiqarilganda modul paydo bo‘ladi: log_a x² = 2 log_a |x|, chunki x manfiy bo‘lishi ham mumkin.

Misol

log₃ 18 − log₃ 2 + log₄ 8 ni hisoblang.

1. Ayirmani bitta logarifmga yig‘amiz: log₃(18/2) = log₃ 9 = 2.
2. Yangi asosga o‘tamiz: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2.
3. Jami: 2 + 3/2 = 3,5.

Misol

log₂ 3 · log₃ 8 ni hisoblang.

1. Zanjir qoidasi: log₂ 3 · log₃ 8 = log₂ 8.
2. log₂ 8 = 3. Javob: 3.

§4. Logarifmik funksiya

y = log_a x — y = aˣ ga teskari funksiya, ularning grafiklari y = x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik.

• Aniqlanish sohasi x > 0, qiymatlar sohasi — barcha haqiqiy sonlar.
• Grafik (1; 0) nuqtadan o‘tadi; Oy o‘qi — vertikal asimptota.
• a > 1 da o‘suvchi, 0 < a < 1 da kamayuvchi.

Monotonlikdan logarifmlarni taqqoslash qoidasi kelib chiqadi. a > 1 bo‘lganda: x > 1 da log_a x > 0, 0 < x < 1 da log_a x < 0. Masalan, log₂ 3 > 1 (chunki 3 > 2), log₃ 2 < 1 (chunki 2 < 3), demak log₂ 3 > log₃ 2.

§5. Logarifmik tenglamalar

Yechish tartibi:

1. Aniqlanish sohasi: logarifm ostidagi barcha ifodalar > 0, o‘zgaruvchili asos > 0 va ≠ 1.
2. Ta’rif bo‘yicha (log_a f = c → f = aᶜ), bir xil asosga keltirib (log_a f = log_a g → f = g) yoki almashtirish bilan yechamiz.
3. Topilgan ildizlarni sohaga tekshiramiz.

Xossalarni qo‘llaganda soha kengayishi mumkin: log₂(x − 1) + log₂(x + 1) ifoda x > 1 da aniqlangan, log₂(x² − 1) esa x < −1 da ham. Shuning uchun sohani dastlabki tenglama bo‘yicha yozamiz.
Asosda o‘zgaruvchi bo‘lsa, x > 0 va x ≠ 1 shartlari qo‘shiladi. Masalan, log_x 16 = 2 → x² = 16 → x = ±4; x = −4 asos sharti bo‘yicha yaramaydi, javob x = 4.

Misol

log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3 ni yeching.

1. Soha: x − 1 > 0 va x + 1 > 0 → x > 1.
2. log₂((x − 1)(x + 1)) = 3 → x² − 1 = 8 → x = ±3.
3. x = −3 sohaga kirmaydi. Javob: x = 3.

Misol

lg²x − 3 lg x + 2 = 0 ni yeching.

1. Soha: x > 0. t = lg x almashtirish: t² − 3t + 2 = 0 → t = 1; 2.
2. lg x = 1 → x = 10; lg x = 2 → x = 100.
3. Ikkalasi ham sohada. Javob: x = 10; 100.

§6. Logarifmik tengsizliklar

Ko‘rsatkichli tengsizliklardagi kabi, asos hal qiladi:

Sohani tengsizlik bilan birga yozish shart, aks holda logarifm osti manfiy bo‘lgan qiymatlar javobga kirib qoladi.

Misol

log_(1/2)(x − 1) > −2 ni yeching.

1. Soha: x − 1 > 0 → x > 1.
2. −2 = log_(1/2) 4, chunki (1/2)⁻² = 4.
3. Asos 1/2 < 1, belgi teskari: x − 1 < 4 → x < 5.
4. Soha bilan kesishma: 1 < x < 5. Javob: (1; 5).

O‘zingizni tekshiring

1. log₂ 32 = ?

2. log₃ 18 − log₃ 2 = ?

3. 5^(log₅ 7) = ?

4. log₄ 8 = ?

5. log₃(2x − 1) = 2 ni yeching.

6. log_(1/2)(x − 1) > −2 ni yeching.

7. log₂(x² − 3x) = 2 ning ildizlari yig‘indisi.

8. 2^(2 + log₂ 5) = ?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Aniqlanish sohasini yozmaslik va begona ildizni qoldirish.
• log(b + c) = log b + log c deb hisoblash.
• Asos 0 < a < 1 da tengsizlik belgisini o‘zgartirmaslik.
• log_a b·log_a c ni log_a(bc) deb yozish.
• Juft darajani chiqarishda modulni unutish: log_a x² = 2 log_a |x|.
• Sohani xossalar qo‘llangandan keyingi tenglama bo‘yicha yozish (u kengroq bo‘lishi mumkin).