Statika va muvozanat

Statika jismlarning muvozanat (tinch turish) shartlarini o‘rganadi. Ko‘prik va binolarni loyihalash, kran yukni ag‘darilmasdan ko‘tarishi, richag va qaychining ishlashi, osma lampaning iplari — hammasi statika masalalari. Har bir masalada ikki savolga javob berish kerak: jism siljimaydimi va aylanmaydimi? Har biriga alohida muvozanat sharti mos keladi. Mavzu Nyuton qonunlarining tezlanish nolga teng bo‘lgan xususiy holi.

§1. Statika asoslari

Moddiy nuqta uchun muvozanat sharti bitta — kuchlar yig‘indisi nol. Real jismlar esa nafaqat siljishi, balki aylanishi ham mumkin: eshikni tutqichidan itarsangiz oson ochiladi, ilmoq yonidan itarsangiz — qiyin. Demak, kuch ta’siri uning qayerga qo‘yilganiga ham bog‘liq.
Statikada odatda absolyut qattiq jism modeli ishlatiladi: kuchlar ta’sirida shakli o‘zgarmaydigan jism. Bunday jismda kuchni ta’sir chizig‘i bo‘ylab siljitish mumkin — natija o‘zgarmaydi.
Jism muvozanatda bo‘lishi uchun ikki shart birga bajarilishi kerak:

• ilgarilanma harakat bo‘lmasligi uchun — kuchlar sharti;
• aylanma harakat bo‘lmasligi uchun — momentlar sharti.

§2. Birinchi muvozanat sharti

Amalda — har bir o‘qqa proyeksiyalar yig‘indisi nol: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0. O‘qlarni noma’lum kuchlardan biri bo‘ylab tanlash hisobni soddalashtiradi.

Misol

2 kg lampa ikki ip bilan osilgan; har bir ip vertikal bilan 60° burchak hosil qiladi. Iplar tarangligi qancha?

1. Gorizontal tashkil etuvchilar o‘zaro teng va qarama-qarshi. Vertikal o‘q: 2T·cos 60° = mg.
2. T = mg/(2·cos 60°) = 20/(2·0,5) = 20 N.
3. Burchak kattalashgan sari taranglik keskin ortadi: 85° da u mg dan 5,7 marta katta bo‘lardi — tarang tortilgan arqon osongina uziladi.

§3. Kuch momenti va ikkinchi muvozanat sharti

Kuch yelkasi d — aylanish o‘qidan kuchning ta’sir chizig‘igacha perpendikulyar masofa.

Moment kuchning aylantiruvchi ta’sirini o‘lchaydi. Kuch o‘qdan o‘tsa, yelka nol va moment nol. Moment ishorasini kelishib olinadi: soat strelkasi bo‘yicha aylantiradigan momentlar bir ishorali, teskarisi — boshqa ishorali.

Jism muvozanatda bo‘lsa, momentlar istalgan o‘qqa nisbatan yig‘indisi nolga teng. Shuning uchun o‘qni noma’lum kuch qo‘yilgan nuqtada tanlash qulay — u kuch tenglamadan chiqib ketadi.

Misol

Uzunligi 2 m, massasi 10 kg bo‘lgan bir jinsli taxta uchlaridagi ikki tayanchda yotibdi; chap uchidan 0,5 m masofaga 40 kg yuk qo‘yildi. Tayanchlar reaksiyasini toping.

1. Kuchlar: taxta og‘irligi 100 N (o‘rtada, chapdan 1 m), yuk 400 N (chapdan 0,5 m), reaksiyalar N₁ (chapda) va N₂ (o‘ngda).
2. Chap tayanchga nisbatan momentlar: N₂·2 = 100·1 + 400·0,5 = 300 → N₂ = 150 N.
3. Birinchi shart: N₁ = 500 − 150 = 350 N.

§4. Richag va oddiy mexanizmlar

Richag — tayanch atrofida aylana oladigan qattiq jism. Muvozanat sharti:

Kuchdan necha marta yutsak, masofadan shuncha marta yutqazamiz. Mexanikaning oltin qoidasi: hech bir oddiy mexanizm ishdan yutuq bermaydi (ishqalanish bo‘lsa, aksincha, yutqiziladi).

• Qo‘zg‘almas blok — teng yelkali richag: kuch yo‘nalishini o‘zgartiradi, kuchdan yutuq bermaydi.
• Qo‘zg‘aluvchan blok — kuchdan 2 marta yutuq, lekin ipni 2 marta ko‘p tortish kerak.
• Polispast — bloklar sistemasi; kuch yukni ko‘taruvchi ip tarmoqlari soni marta kamayadi.
• Qiya tekislik: ishqalanishsiz F = mg·h/l.
• Chig‘iriq, vint, pona, qaychi, ombir ham richag yoki qiya tekislik ko‘rinishlari.

Real mexanizmning FIK: η = A_foydali/A_sarflangan = mgh/(Fl).

Misol

Uzunligi 5 m, balandligi 1 m qiya tekislik bo‘ylab 100 kg yuk 250 N kuch bilan tekis tortib chiqarildi. FIK qancha?

1. Foydali ish: A_f = mgh = 1000·1 = 1000 J.
2. Sarflangan ish: A_s = F·l = 250·5 = 1250 J.
3. η = 1000/1250 = 0,8 = 80 % (ishqalanishsiz 200 N yetarli bo‘lardi).

§5. Og‘irlik markazi va muvozanat turlari

Og‘irlik markazi — jismning barcha qismlariga ta’sir etuvchi og‘irlik kuchlari natijaviysining qo‘yilish nuqtasi. Bir jinsli simmetrik jismlarda u simmetriya markazida: sterjen o‘rtasida, doira markazida. Nuqtaviy massalar uchun:

Jismni og‘irlik markazidan osib qo‘ysangiz, u har qanday holatda muvozanatda turadi.
Muvozanat turlari:

• Turg‘un — chetga og‘dirilsa, o‘z holatiga qaytadi (og‘irlik markazi ko‘tariladi): osilgan mayatnik, chuqurchadagi shar.
• Turg‘unmas — chetga og‘dirilsa, yiqiladi (og‘irlik markazi pasayadi): uchida turgan qalam, do‘nglik ustidagi shar.
• Befarq — har qanday holatda muvozanat (og‘irlik markazi balandligi o‘zgarmaydi): tekis stoldagi shar.

Tayanch yuzasi bilan turgan jism og‘irlik markazidan tushirilgan vertikal tayanch yuzasidan chiqmaguncha ag‘darilmaydi. Shuning uchun turg‘unlik uchun og‘irlik markazi past, tayanch yuzasi esa keng bo‘lishi kerak (poyga avtomobillari, minoralar poydevori).

Misol

Uzunligi 1 m, massasi 2 kg bo‘lgan bir jinsli sterjenning bir uchiga 3 kg yuk mahkamlangan. Sistemaning og‘irlik markazi shu uchdan qancha uzoqda?

1. Sterjen massasi o‘rtasida (x = 0,5 m), yuk uchida (x = 0).
2. x_c = (2·0,5 + 3·0)/(2 + 3) = 1/5 = 0,2 m.

§6. Statika masalasini yechish algoritmi

1. Muvozanatdagi jismni ajrating va unga ta’sir etuvchi barcha kuchlarni chizing: og‘irlik (og‘irlik markaziga), tayanch reaksiyalari, ip tarangliklari, ishqalanish.
2. Birinchi shartni proyeksiyalarda yozing: ΣFₓ = 0, ΣF_y = 0.
3. Aylanish o‘qini tanlang — iloji boricha noma’lum kuchlar ko‘p qo‘yilgan nuqtada.
4. Har bir kuchning yelkasini toping (o‘qdan ta’sir chizig‘igacha perpendikulyar) va ΣM = 0 ni yozing.
5. Tenglamalar sistemasini yeching; reaksiya manfiy chiqsa, uning yo‘nalishi taxmin qilinganiga teskari.

Noma’lumlar soni tenglamalar sonidan ko‘p bo‘lsa (masalan, to‘rt oyoqli stol), masala faqat statika bilan yechilmaydi — jism deformatsiyasini hisobga olish kerak.

O‘zingizni tekshiring

1. Richagning qisqa yelkasi 20 cm, uzuni 1 m. 500 N yukni ko‘tarish uchun qancha kuch kerak?

2. Uzunligi 25 cm gayka kalitiga perpendikulyar 40 N kuch qo‘yildi. Kuch momenti?

3. 60 kg yukni qo‘zg‘aluvchan blok bilan ko‘tarish uchun kuch (blok vaznsiz, ishqalanishsiz)?

4. 1 kg va 3 kg sharlar 40 cm uzunlikdagi vaznsiz sterjen uchlarida. Og‘irlik markazi 1 kg li shardan qancha masofada?

5. Uzunligi 5 m, balandligi 1 m qiya tekislikdan 100 kg yukni ishqalanishsiz tortish kuchi?

6. Kuch aylanish o‘qidan o‘tsa, uning momenti nimaga teng?

7. Uchida turgan qalam qanday muvozanatda?

8. Massasi 4 kg bir jinsli sterjen o‘rtasidan tayangan; bir uchidan 0,1 m da 2 kg yuk osilgan, sterjen uzunligi 1 m. Muvozanat uchun ikkinchi uchiga qanday yuk osish kerak?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Yelka sifatida o‘qdan kuch qo‘yilgan nuqtagacha masofani olish: perpendikulyar masofa kerak.
• Faqat bitta muvozanat shartini yozish: jism siljimasligi ham, aylanmasligi ham kerak.
• Bir jinsli sterjen og‘irligini o‘rtaga emas, uchiga qo‘yish.
• Oddiy mexanizm ishdan ham yutuq beradi deb o‘ylash.
• Momentlar ishorasini (aylanish yo‘nalishini) hisobga olmaslik.