Matematik modellashtirish

Matematik modellashtirish — hayotiy vaziyatni tenglama, funksiya yoki tengsizlik tiliga o‘girish va shu orqali savolga javob topish. Imtihondagi matnli masalalarning aksariyati aynan shunday: tarif tanlash, harakat, yuzani maksimallashtirish, bank foizi, xarajatni minimallashtirish. Asosiy ko‘nikma — shartni to‘g‘ri «tarjima» qilish.

§1. Model qurish bosqichlari

1. Noma’lumni tanlash. Nima so‘ralayotganini aniqlab, uni (yoki unga bog‘liq qulay miqdorni) x bilan belgilaymiz va birligini yozamiz.
2. Bog‘lanishlarni yozish. Shartdagi har bir gapni formula qilamiz: «qancha ko‘p» — ayirma, «necha marta» — nisbat, «foiz» — ko‘paytuvchi.
3. Matematik yechish. Tenglama, sistema, funksiyaning ekstremumi va hokazo.
4. Talqin va tekshiruv. Javob shartga mosmi: musbatmi, butunmi, ruxsat etilgan oraliqdami, birligi to‘g‘rimi?

To‘rtinchi bosqich ko‘pincha unutiladi, holbuki tenglamaning ikkinchi ildizi (masalan, manfiy uzunlik) aynan shu yerda tashlab yuboriladi.

§2. Chiziqli modellar

O‘zgarmas tezlik, o‘zgarmas narx, doimiy to‘lov + birlik narxi — bularning barchasi y = kx + b ko‘rinishida.

Misol

«A» tarif: oyiga 30 000 so‘m abonent to‘lovi va har daqiqa 100 so‘m. «B» tarif: abonent to‘lovisiz, har daqiqa 200 so‘m. Qachon «A» foydali?

1. Daqiqalar soni x. Xarajatlar: A(x) = 30000 + 100x, B(x) = 200x.
2. Tenglik: 30000 + 100x = 200x → x = 300.
3. x > 300 da A(x) < B(x). Javob: oyiga 300 daqiqadan ko‘p gaplashilsa, «A» foydali.

Misol

Oralig‘i 300 km bo‘lgan shaharlardan bir vaqtda ikki avtomobil bir-biriga qarab yo‘lga chiqdi, tezliklari 70 va 80 km/soat. Necha soatdan keyin uchrashadi?

1. Yaqinlashish tezligi: 70 + 80 = 150 km/soat.
2. t = 300/150 = 2 soat.

§3. Kvadratik modellar

Yuza (ikki o‘lcham ko‘paytmasi), yuqoriga otilgan jism balandligi, daromad = narx × miqdor — kvadrat funksiya beradi. Eng katta yoki eng kichik qiymat parabola uchida: x₀ = −b/(2a).

Misol

Jism yuqoriga otildi, balandligi h(t) = 20t − 5t² (m). Eng katta balandlik qancha va jism qachon yerga tushadi?

1. Uch: t₀ = −20/(2·(−5)) = 2 s, h(2) = 40 − 20 = 20 m.
2. Yerga tushish: 20t − 5t² = 0 → t = 0 yoki t = 4. Javob: 4 s da.

Misol

Daryo bo‘yida to‘g‘ri to‘rtburchak maydon 60 m to‘r bilan uch tomondan o‘raladi (daryo tomoni o‘ralmaydi). Eng katta yuza qancha?

1. Daryoga perpendikulyar tomonlar x, parallel tomon 60 − 2x.
2. S(x) = x(60 − 2x) = −2x² + 60x, 0 < x < 30.
3. x₀ = 15, S = 15·30 = 450 m².

§4. Ko‘rsatkichli modellar

Har bir davrda miqdor bir xil marta (bir xil foizga) o‘zgarsa:

Misol

Bankka 1 000 000 so‘m yillik 20% (murakkab foiz) bilan qo‘yildi. 2 yildan keyin qancha bo‘ladi?

1. q = 1,2.
2. 1 000 000·1,2² = 1 440 000 so‘m.

Misol

Moddaning yarim yemirilish davri 5 kun. 80 g dan 15 kundan keyin qancha qoladi?

1. 15/5 = 3 davr.
2. 80·(1/2)³ = 10 g.

§5. Hosila yordamida optimallash

Funksiya kvadratik bo‘lmasa, ekstremum hosila orqali topiladi: model tuziladi, f′(x) = 0 yechiladi va kritik nuqta hamda oraliq uchlari solishtiriladi.

Misol

Kengligi 1 km bo‘lgan daryoning bir qirg‘og‘idagi A nuqtadan qarama-qarshi qirg‘oq bo‘ylab 5 km narida joylashgan B nuqtaga kabel tortiladi. Daryo tubidan 1 km — 7500$, qirg‘oq bo‘ylab 1 km — 6000$. Eng arzon narx?

1. Kabel A ning qarshisidagi nuqtadan x km narida qirg‘oqqa chiqsin. Narx: f(x) = 7500√(1 + x²) + 6000(5 − x), 0 ≤ x ≤ 5.
2. f′(x) = 7500x/√(1 + x²) − 6000 = 0 → x/√(1 + x²) = 0,8.
3. x² = 0,64(1 + x²) → 0,36x² = 0,64 → x = 4/3.
4. Daryo tubidan √(1 + 16/9) = 5/3 km → 12500$; qirg‘oq bo‘ylab 11/3 km → 22000$. Jami 34500$.
5. Uchlar: f(0) = 7500 + 30000 = 37500, f(5) = 7500√26 ≈ 38243. Demak minimum 34500$.

§6. Harakat va birgalikdagi ish modellari

Matnli masalalarning katta qismi bitta munosabatga tayanadi: «miqdor = tezlik × vaqt». Harakatda bu yo‘l, tezlik va vaqt; ishda — bajarilgan ish, unumdorlik va vaqt.

Model qurish tartibi §1 dagi bilan bir xil: noma’lumni belgilaymiz, har bir qism uchun vaqt yoki ish ifodasini yozamiz, shartdagi umumiy miqdorni tenglama qilib olamiz. Ko‘pincha kasrli tenglama hosil bo‘ladi va u maxrajlarga ko‘paytirgandan keyin kvadrat tenglamaga aylanadi.
Ikki ildizdan birini tashlab yuborishga to‘g‘ri keladi: tezlik musbat bo‘lishi, qayiqning o‘z tezligi oqim tezligidan katta bo‘lishi (aks holda u oqimga qarshi suza olmaydi), vaqt manfiy bo‘lmasligi kerak. Shu tekshiruv — modelning so‘nggi, majburiy bosqichi.
Unumdorlik g‘oyasi faqat ishchilarga emas, quvurlar, nasoslar, printerlar kabi istalgan «bir xil tezlikda ishlovchi» jarayonlarga ham qo‘llanadi.

Misol

Qayiq daryo oqimi bo‘yicha 24 km va orqaga 24 km suzib, jami 5 soat sarfladi. Oqim tezligi 2 km/soat. Qayiqning turg‘un suvdagi tezligini toping.

1. Qayiq tezligi v km/soat (v > 2); oqim bo‘yicha v + 2, qarshi v − 2.
2. Model: 24/(v + 2) + 24/(v − 2) = 5.
3. (v² − 4) ga ko‘paytiramiz: 24(v − 2) + 24(v + 2) = 5(v² − 4) → 5v² − 48v − 20 = 0.
4. D = 48² + 4·5·20 = 2704 = 52²; v = (48 + 52)/10 = 10 yoki v = (48 − 52)/10 = −0,4.
5. Shartga v > 2 mos: v = 10 km/soat. Tekshiruv: 24/12 + 24/8 = 2 + 3 = 5.

O‘zingizni tekshiring

1. Taksi: 4000 so‘m qo‘nish va har km 1500 so‘m. 19000 so‘m to‘langan bo‘lsa, necha km yurilgan?

2. h(t) = 30t − 5t² bo‘lsa, eng katta balandlik qancha?

3. Bakteriyalar soni har soatda ikki baravar ortadi. Boshida 500 ta bo‘lsa, 5 soatdan keyin qancha?

4. Yuzi 64 bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchaklar ichida eng kichik perimetrlisi?

5. 12 × 12 sm tunukaning burchaklaridan x tomonli kvadratlar qirqib, ochiq quti yasaladi. Eng katta hajm?

6. Narx 10% oshirildi, keyin 10% tushirildi. Natijada narx qanday o‘zgardi?

7. Hovuzni birinchi quvur 4 soatda, ikkinchisi 12 soatda to‘ldiradi. Ikkalasi birga necha soatda to‘ldiradi?

8. A va B orasidagi masofani avtomobil 60 km/soat tezlikda 2,5 soatda bosadi. 75 km/soat tezlikda necha soatda bosadi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Javobni shartga mosligini tekshirmaslik (manfiy uzunlik, kasr sonli odamlar).
• Birliklarni aralashtirish: daqiqa va soat, sm va m.
• Ketma-ket foiz o‘zgarishlarini qo‘shish (+10% − 10% ≠ 0).
• Kvadratik modelda o‘zgaruvchining ruxsat etilgan oralig‘ini yozmaslik.
• Hosila bilan optimallashda oraliq uchlarini tekshirmaslik.
• Birgalikdagi ishda vaqtlarni qo‘shish (4 + 12) yoki o‘rtalash: qo‘shiladigan narsa — unumdorliklar.