Hosila va uning tatbiqlari

Hosila funksiyaning o‘zgarish tezligini o‘lchaydi. Uning yordamida urinma tenglamasi tuziladi, funksiyaning o‘sish-kamayish oraliqlari, ekstremumlari, eng katta va eng kichik qiymatlari topiladi, harakat tezligi va tezlanishi hisoblanadi. Imtihonda hosila jadvali va qoidalarini xatosiz qo‘llash talab qilinadi.

§1. Ta’rif va ma’nosi

x argument Δx ga o‘zgarsa, funksiya Δf = f(x₀ + Δx) − f(x₀) ga o‘zgaradi. Δf/Δx — o‘rtacha o‘zgarish tezligi. Δx → 0 dagi limiti — hosila:

• Geometrik ma’nosi: f′(x₀) — grafikka x₀ nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti: f′(x₀) = tg α.
• Fizik ma’nosi: yo‘l s(t) bo‘lsa, tezlik v(t) = s′(t), tezlanish a(t) = v′(t) = s″(t).

Misol

Nuqta s(t) = t³ − 2t² + 3 (m) qonun bo‘yicha harakatlanadi. t = 2 s dagi tezlik va tezlanishni toping.

1. v(t) = 3t² − 4t, v(2) = 12 − 8 = 4 m/s.
2. a(t) = 6t − 4, a(2) = 8 m/s².

§2. Hosilalar jadvali va qoidalari

Qoidalar (u, v — funksiyalar, C — son):

Misol

f(x) = (x + 1)/(x − 1) ning hosilasini toping.

1. u = x + 1, v = x − 1, u′ = v′ = 1.
2. f′ = ((x − 1) − (x + 1))/(x − 1)² = −2/(x − 1)².

§3. Murakkab funksiya hosilasi

Funksiya ichida boshqa funksiya bo‘lsa — «tashqi hosila ichki hosilaga ko‘paytiriladi»:

Namunalar:

• ((3x − 1)⁵)′ = 5(3x − 1)⁴·3 = 15(3x − 1)⁴;
• (sin²x)′ = 2sin x·cos x = sin 2x;
• (e²ˣ)′ = 2e²ˣ;
• (ln(x² + 1))′ = 2x/(x² + 1);
• (√(1 − x²))′ = −2x/(2√(1 − x²)) = −x/√(1 − x²).

§4. Urinma tenglamasi

Urinma (x₀; f(x₀)) nuqtadan o‘tadi va burchak koeffitsiyenti f′(x₀):

Agar urinma biror y = kx + b chiziqqa parallel bo‘lsin deyilsa, f′(x₀) = k tenglamadan x₀ topiladi.

Misol

f(x) = x² − 3x + 1 grafigiga x₀ = 2 nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasi.

1. f(2) = 4 − 6 + 1 = −1.
2. f′(x) = 2x − 3, f′(2) = 1.
3. y = −1 + 1·(x − 2) = x − 3.

Misol

f(x) = x² − 3x grafigining qaysi nuqtasida urinma y = 5x + 1 ga parallel?

1. f′(x) = 2x − 3 = 5 → x₀ = 4.
2. f(4) = 16 − 12 = 4. Nuqta (4; 4).

§5. Funksiyani tekshirish: monotonlik va ekstremumlar

• Kritik nuqtalar — f′ = 0 yoki f′ mavjud bo‘lmagan nuqtalar.
• f′ ishorasi + dan − ga o‘zgarsa — maksimum, − dan + ga — minimum. Ishora o‘zgarmasa — ekstremum yo‘q.
• Ikkinchi hosila bilan: f′(x₀) = 0 va f″(x₀) > 0 — minimum, f″(x₀) < 0 — maksimum. Masalan, f(t) = t⁴ − 2t² + 1 da f′(1) = 0, f″(1) = 8 > 0 — t = 1 minimum.

Kesmadagi eng katta / eng kichik qiymat: kesma ichidagi kritik nuqtalardagi va kesma uchlaridagi qiymatlarni solishtiramiz.

Misol

f(x) = x³ − 3x² + 2 funksiyani tekshiring va [−1; 3] dagi eng katta, eng kichik qiymatlarini toping.

1. f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2); kritik nuqtalar 0 va 2.
2. Ishoralar: (−∞; 0) da +, (0; 2) da −, (2; +∞) da +.
3. x = 0 — maksimum, f(0) = 2; x = 2 — minimum, f(2) = 8 − 12 + 2 = −2.
4. Uchlar: f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2, f(3) = 27 − 27 + 2 = 2.
5. Kesmada: eng katta 2, eng kichik −2.

§6. Fizik ma’no: tezlik, tezlanish va berilgan qiyalikdagi urinma

Hosila — o‘zgarish tezligi. Agar nuqta to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanib, t vaqtdagi koordinatasi s(t) bo‘lsa, birinchi hosila oniy tezlikni, ikkinchi hosila esa tezlanishni beradi:

• v(t) > 0 — nuqta musbat yo‘nalishda harakatlanadi, v(t) < 0 — orqaga qaytadi, v(t) = 0 — shu onda to‘xtaydi (harakat yo‘nalishi o‘zgarishi mumkin).
• Bosib o‘tilgan yo‘l va ko‘chish har xil narsa: nuqta orqaga qaytsa, yo‘l har bir bo‘lakdagi ko‘chishlar modullarining yig‘indisiga teng.
• Fizikadan tashqari ham shunday: V(t) — idishdagi suv hajmi bo‘lsa, V′(t) — to‘lish tezligi; C(x) — x ta mahsulot narxi bo‘lsa, C′(x) — qo‘shimcha birlikning taxminiy narxi.

Geometrik ma’no bilan bog‘liq tipik savol: berilgan to‘g‘ri chiziqqa parallel urinma. Parallel chiziqlarning burchak koeffitsiyentlari teng, shuning uchun f′(x₀) = k tenglamadan urinish nuqtasi topiladi, keyin §4 dagi urinma formulasi qo‘llanadi. Masalan, y = x² − 3x ga y = x + 5 ga parallel urinma: 2x − 3 = 1 → x₀ = 2, f(2) = −2, urinma y = x − 4.

Misol

Nuqta s(t) = t³ − 6t² + 9t (m) qonun bo‘yicha harakatlanadi. U qachon to‘xtaydi, shu paytlardagi tezlanish qancha va [0; 3] vaqtda qancha yo‘l bosadi?

1. v(t) = s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3); v = 0 da t = 1 va t = 3 s.
2. a(t) = v′(t) = 6t − 12; a(1) = −6 m/s², a(3) = 6 m/s².
3. Koordinatalar: s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
4. [0; 1] da nuqta 4 m oldinga, [1; 3] da 4 m orqaga yuradi.
5. Bosib o‘tilgan yo‘l: 4 + 4 = 8 m (ko‘chish esa 0).

O‘zingizni tekshiring

1. f(x) = x⁴ − 3x² + 5x uchun f′(1) ni toping.

2. (cos 3x)′ = ?

3. (x·eˣ)′ = ?

4. y = √x grafigiga x₀ = 4 nuqtadagi urinma tenglamasi.

5. s(t) = 2t³ − t. t = 1 dagi tezlik.

6. f(x) = x³ − 12x ning ekstremum nuqtalari va qiymatlari.

7. y = x² parabolaga y = 4x − 1 ga parallel bo‘lgan urinma tenglamasini yozing.

8. s(t) = t³ − 3t² bo‘lsa, t = 2 dagi tezlanishni toping.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• Murakkab funksiyada ichki funksiya hosilasini unutish: (sin 3x)′ = 3cos 3x, cos 3x emas.
• (cos x)′ da minus ishorani tushirib qoldirish.
• (uv)′ = u′v′ deb hisoblash.
• f′(x₀) = 0 bo‘lishi har doim ekstremum deb o‘ylash: y = x³ da x = 0 ekstremum emas.
• Kesmadagi eng katta qiymatni faqat kritik nuqtalardan izlab, uchlarni tekshirmaslik.
• Urinma tenglamasida f(x₀) o‘rniga x₀ ni yozish.
• Nuqta orqaga qaytganda yo‘lni s(t₂) − s(t₁) deb hisoblash: v = 0 bo‘lgan paytlarda oraliqni bo‘laklash kerak.