Qisqa ko‘paytirish formulalari

Qisqa ko‘paytirish formulalari — algebraning "ko‘paytirish jadvali". Ular ikki hadli ifodalarni ko‘paytirish natijasini tayyor ko‘rinishda beradi. Ularni ikki yo‘nalishda ham tez taniy bilish (qavsni ochish va ko‘paytuvchilarga ajratish) soddalashtirish, tenglama yechish, kasrlarni qisqartirish va og‘zaki hisobni bir necha barobar tezlashtiradi. Bu darsda har bir formula qayerdan kelib chiqishi, qanday qo‘llanishi va qaysi joyda ko‘p xato qilinishi tushuntiriladi.

§1. Ikkinchi darajali formulalar

Uchta asosiy formula:

Nega to‘g‘ri? Qavslarni oddiy ko‘paytiramiz: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b². Ikkita bir xil ab hadi qo‘shilib, "o‘rta had" 2ab ni beradi. Geometrik ma’nosi: tomoni a + b bo‘lgan kvadrat tomonlari a va b bo‘lgan ikki kvadratga hamda ikkita a × b to‘g‘ri to‘rtburchakka bo‘linadi.
Kvadratlar ayirmasida esa o‘rta hadlar yo‘qoladi: (a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b² = a² − b².
Eng ko‘p xato: (a + b)² ≠ a² + b² — o‘rta had unutiladi. Tekshirish oson: a = b = 1 da (1 + 1)² = 4, lekin 1² + 1² = 2.
Formulalarda a va b o‘rnida istalgan ifoda turishi mumkin: (3x − 2y)² = 9x² − 12xy + 4y². Bu yerda a = 3x, b = 2y, shuning uchun a² = 9x², .

Misol

(3x − 2)² − (3x + 2)(3x − 2) ni soddalashtiring.

1. Birinchi had: (3x − 2)² = 9x² − 12x + 4.
2. Ikkinchi had — kvadratlar ayirmasi: (3x + 2)(3x − 2) = 9x² − 4.
3. Ayiramiz: 9x² − 12x + 4 − 9x² + 4 = 8 − 12x.

§2. Uchinchi darajali formulalar

Kubni ochish formulasi (a + b)³ = (a + b)²(a + b) dan kelib chiqadi. Koeffitsientlar 1, 3, 3, 1 — Paskal uchburchagining qatori. (a − b)³ da belgilar navbatlashadi: +, −, +, −.
Kublar yig‘indisi va ayirmasidagi ikkinchi ko‘paytuvchi a² ∓ ab + b² — to‘liqmas kvadrat: unda ab oldida 2 yo‘q. Belgilarni eslab qolish usuli: birinchi qavsdagi belgi asl ifodadagi bilan bir xil, ab oldidagi belgi esa unga qarama-qarshi.
Tekshirish: (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³ = a³ − b³.

Misol

27x³ + 1 ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

1. 27x³ = (3x)³, 1 = 1³, demak a = 3x, b = 1.
2. Kublar yig‘indisi: (a + b)(a² − ab + b²).
3. Javob: (3x + 1)(9x² − 3x + 1).

§3. Og‘zaki hisobda qo‘llash

Formulalar katta sonlar bilan hisoblashni yengillashtiradi. Asosiy g‘oya — sonni "yumaloq" son va kichik qo‘shimcha ko‘rinishida yozish:

• 102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
• 49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
• 999² = (1000 − 1)² = 1 000 000 − 2000 + 1 = 998 001.
• 98·102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10 000 − 4 = 9 996.
• 67² − 33² = (67 − 33)(67 + 33) = 34·100 = 3 400.
• 41² − 39² = 2 · 80 = 160.

Qoida: ikki son o‘rtasidagi "o‘rta" son yumaloq bo‘lsa, kvadratlar ayirmasidan foydalaning; son yumaloq songa yaqin bo‘lsa, kvadrat formulasidan.

§4. Ko‘paytuvchilarga ajratish (teskari yo‘nalish)

Imtihonda formulani ko‘pincha "teskari" o‘qish kerak: tayyor ko‘phaddan qavslarga qaytish.

• Uch had berilgan va ikkitasi to‘liq kvadrat bo‘lsa, to‘liq kvadrat belgisini tekshiring: 4x² − 12x + 9 da 4x² = (2x)², 9 = 3², 2 · 2x · 3 = 12x — demak (2x − 3)².
• Ikki kvadrat ayirmasi har doim ajraladi: x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4) = (x − 2)(x + 2)(x² + 4).
• Kvadratlar yig‘indisi x² + 4 haqiqiy sonlarda ajralmaydi.
• Ba’zan avval guruhlash kerak: x² − y² + 2y − 1 = x² − (y − 1)² = (x − y + 1)(x + y − 1).

Misol

(x² − 9)/(x² − 6x + 9) kasrni qisqartiring.

1. Surat: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
2. Maxraj: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
3. (x − 3) ga qisqartiramiz: (x + 3)/(x − 3), bunda x ≠ 3.

§5. Simmetrik ifodalar

a + b va ab ma’lum bo‘lsa, ko‘p ifodani a va b ni topmasdan hisoblash mumkin:

Bu formulalar to‘g‘ridan to‘g‘ri §1 va §2 dan kelib chiqadi: masalan, (a + b)² = a² + 2ab + b² dan 2ab ni ayirsak, a² + b² qoladi. Ular Viyet teoremasi bilan birga juda ko‘p qo‘llanadi: kvadrat tenglama ildizlari uchun x₁ + x₂ va x₁x₂ darhol ma’lum.
Xususan, x + 1/x = t bo‘lsa, x² + 1/x² = t² − 2, chunki x · 1/x = 1.

Misol

a + b = 3, ab = 2 bo‘lsa, a³ + b³ ni toping.

1. a³ + b³ = (a + b)³ − 3ab(a + b).
2. = 3³ − 3 · 2 · 3.
3. = 27 − 18 = 9.

§6. Irratsional ifodalarda

Formulani ko‘rish uchun ko‘pincha hadlarni guruhlash yoki ildizni "kvadrat" deb ko‘rish kerak: 7 = (√7)².
Maxrajni irratsionallikdan qutqarishda qo‘shma ifodaga ko‘paytiriladi, chunki (√a − √b)(√a + √b) = a − b — ildizlar yo‘qoladi.

Misol

(√7 + 1 − √3)(√7 + √3 − 1) ni soddalashtiring.

1. Guruhlaymiz: (√7 + (1 − √3))(√7 − (1 − √3)).
2. Kvadratlar ayirmasi: 7 − (1 − √3)².
3. (1 − √3)² = 1 − 2√3 + 3 = 4 − 2√3.
4. 7 − 4 + 2√3 = 3 + 2√3.

Misol

2/(√5 − √3) maxrajini irratsionallikdan qutqaring.

1. Surat va maxrajni √5 + √3 ga ko‘paytiramiz.
2. Maxraj: (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2.
3. 2(√5 + √3)/2 = √5 + √3.

O‘zingizni tekshiring

1. 103² ni og‘zaki hisoblang.

2. 1001 · 999 ni hisoblang.

3. a + b = 5, ab = 6. a² + b² ni toping.

4. (x − 3)² − (x + 3)² ni soddalashtiring.

5. x + 1/x = 3 bo‘lsa, x² + 1/x² ni toping.

6. (2x − 1)³ ni oching.

7. x³ − 8 ni ko‘paytuvchilarga ajrating.

8. (x + 3)² − (x − 1)(x + 1) ni soddalashtiring.

Ko‘p uchraydigan xatolar

• (a + b)² = a² + b² deb yozish (o‘rta had 2ab yo‘qoladi).
• a³ + b³ dagi to‘liqmas kvadratga 2 qo‘shib yuborish: a² − 2ab + b² emas, a² − ab + b².
• (a − b)² da b² ni manfiy deb yozish (har doim +b²).
• (2x)² ni 2x² deb hisoblash (to‘g‘risi 4x²).
• Kvadratlar yig‘indisi a² + b² ni ko‘paytuvchilarga ajratishga urinish.
• Ayirish oldidagi qavsni ochishda belgilarni almashtirmaslik: −(9x² − 4) = −9x² + 4.