To‘g‘ri chiziqli harakat

Kinematika jismning qanday harakatlanishini — qayerda, qanday tezlikda, qancha vaqtda — o‘rganadi, harakat sababini esa so‘ramaydi (bu dinamikaning vazifasi). To‘g‘ri chiziqli harakat formulalari butun mexanikaning poydevori: ular dinamika, energiya, tebranishlar va hatto elektr maydondagi zarra masalalarida qayta-qayta ishlatiladi. Bu mavzuni puxta o‘zlashtirgan o‘quvchi keyingi bo‘limlarda formulalarni yodlamasdan, mantiq bilan chiqara oladi.

§1. Asosiy tushunchalar

• Mexanik harakat — jism vaziyatining boshqa jismlarga nisbatan vaqt o‘tishi bilan o‘zgarishi.
• Moddiy nuqta — o‘lchamlarini shu masalada hisobga olmasa bo‘ladigan jism. Masalan, Toshkentdan Samarqandgacha yurgan avtomobil — moddiy nuqta, garajga kirayotgan avtomobil esa yo‘q.
• Sanoq sistemasi = sanoq jismi + koordinatalar sistemasi + soat. Harakat nisbiy: poyezddagi yo‘lovchi vagonga nisbatan tinch, Yerga nisbatan harakatda.
• Trayektoriya — jism harakatlanayotganda chizgan chiziq.
• Yo‘l s — trayektoriya uzunligi; skalyar, hech qachon kamaymaydi.
• Ko‘chish — boshlang‘ich nuqtadan oxirgi nuqtaga yo‘nalgan kesma; vektor.

Doira bo‘ylab to‘liq aylanib chiqqan jismning yo‘li 2πR, ko‘chishi esa nol. To‘g‘ri chiziq bo‘ylab bir tomonga harakatda yo‘l va ko‘chish moduli teng.

§2. Tekis to‘g‘ri chiziqli harakat

Jism istalgan teng vaqt oraliqlarida teng ko‘chishlar qilsa, harakat tekis deyiladi — tezlik o‘zgarmas.

• vₓ — tezlikning o‘qqa proyeksiyasi: o‘q yo‘nalishida harakatda musbat, teskari yo‘nalishda manfiy.
• x(t) grafigi — to‘g‘ri chiziq, uning qiyaligi tezlikka teng; qiyalik qancha katta bo‘lsa, tezlik shuncha katta.
• v(t) grafigi — gorizontal chiziq, uning ostidagi yuza — bosib o‘tilgan yo‘l.

Masalan, x = 100 − 5t tenglama jism koordinata boshidan 100 m uzoqdan boshlab, o‘qqa teskari yo‘nalishda 5 m/s tezlik bilan harakatlanishini bildiradi; u t = 20 s da koordinata boshiga yetadi.
Ikki jismning uchrashish joyi va vaqtini topish uchun ularning x(t) tenglamalari tenglashtiriladi: x₁(t) = x₂(t).

§3. O‘rtacha tezlik va tezliklarni qo‘shish

Notekis harakatda o‘rtacha (yo‘l) tezlik — butun yo‘lning butun vaqtga nisbati:

Bu tezliklarning o‘rta arifmetigi emas! Yo‘lning teng yarmlari v₁ va v₂ tezlikda o‘tilsa:

Vaqtning teng yarmlarida esa v_o‘r = (v₁ + v₂)/2.

Tezliklarni qo‘shish (Galiley): jismning qo‘zg‘almas sistemaga nisbatan tezligi = harakatlanuvchi sistemaga nisbatan tezligi + sistemaning o‘z tezligi:

Qarama-qarshi harakatlanayotgan ikki poyezdning nisbiy tezligi v₁ + v₂, bir tomonga harakatlanayotganlarniki |v₁ − v₂|. Daryoda qayiq oqim bo‘ylab v + u, oqimga qarshi v − u tezlik bilan suzadi.

Misol

Avtobus yo‘lning birinchi yarmini 60 km/h, ikkinchisini 40 km/h tezlik bilan o‘tdi. O‘rtacha tezlik qancha?

1. v_o‘r = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) = 2·60·40/(60 + 40).
2. v_o‘r = 4800/100 = 48 km/h (50 emas).

Misol

54 km/h va 36 km/h tezlikda qarama-qarshi harakatlanayotgan poyezdlardan birining yo‘lovchisi uzunligi 150 m bo‘lgan ikkinchi poyezd yonidan qancha vaqtda o‘tishini ko‘radi?

1. Tezliklarni SI ga o‘tkazamiz: 15 m/s va 10 m/s.
2. Nisbiy tezlik: 15 + 10 = 25 m/s.
3. t = 150/25 = 6 s.

§4. Tekis o‘zgaruvchan harakat

Tezlik teng vaqtlarda teng miqdorda o‘zgarsa, harakat tekis o‘zgaruvchan — tezlanish o‘zgarmas:

Tezlashishda a tezlik bilan bir yo‘nalishda, sekinlashishda — qarama-qarshi (o‘qqa proyeksiyada a < 0).

Uchinchi formula vaqt berilmagan masalalarda juda qulay, to‘rtinchisi tezlanish berilmaganda. Tinch holatdan boshlangan harakatda ketma-ket teng vaqt oraliqlaridagi yo‘llar 1 : 3 : 5 : 7 … nisbatda (Galiley qonuni), n-sekunddagi yo‘l:

Misol

Avtomobil v₀ = 10 m/s tezlikda harakatlanib, a = −2 m/s² tezlanish bilan tormozlanmoqda. To‘xtaguncha qancha yo‘l bosadi?

1. To‘xtaganda v = 0: 0 − v₀² = 2as.
2. s = v₀²/(2|a|) = 100/4 = 25 m.

§5. Harakat grafiklari

• v(t) grafigi tekis o‘zgaruvchan harakatda to‘g‘ri chiziq; uning qiyaligi — tezlanish, ostidagi yuza — yo‘l (ko‘chish).
• x(t) grafigi parabola: tezlashishda "tepaga egilgan", sekinlashishda "pastga egilgan".
• a(t) grafigi gorizontal chiziq; uning ostidagi yuza — tezlik o‘zgarishi.

Grafikli masalalarda yuzani uchburchak va to‘rtburchaklarga bo‘lib hisoblash qulay.

Misol

Jism tinch holatdan 5 s davomida tekis tezlanib 10 m/s ga yetdi, so‘ng 5 s o‘zgarmas tezlik bilan harakatlandi. Umumiy yo‘l?

1. Birinchi bo‘lak (uchburchak): s₁ = 5·10/2 = 25 m.
2. Ikkinchi bo‘lak (to‘rtburchak): s₂ = 10·5 = 50 m.
3. s = 25 + 50 = 75 m.

§6. Erkin tushish va vertikal otish

Havo qarshiligi bo‘lmasa, barcha jismlar bir xil tezlanish bilan tushadi: g ≈ 9,8 ≈ 10 m/s² (Galiley). Erkin tushish — tekis tezlanuvchan harakatning xususiy holi, shuning uchun §4 formulalari a = g bilan ishlaydi.

• Pastga tushish: h = v₀t + gt²/2, v = v₀ + gt; tinch holatdan: t = √(2h/g).
• Yuqoriga otish: ko‘tarilish vaqti t = v₀/g, eng katta balandlik h = v₀²/(2g); qaytib tushgandagi tezlik boshlang‘ichiga teng, tushish vaqti ko‘tarilish vaqtiga teng.
• Eng yuqori nuqtada tezlik nol, lekin tezlanish g ga teng — nol emas!

Misol

175 m balandlikdan pastga otilgan jism 2-sekundda 25 m o‘tdi. Boshlang‘ich tezlik va dastlabki 4 s dagi yo‘lni toping.

1. s₂ = v₀ + g(2·2 − 1)/2 = v₀ + 15.
2. v₀ + 15 = 25 → v₀ = 10 m/s.
3. s(4) = 10·4 + 10·16/2 = 40 + 80 = 120 m — 175 m dan kam, demak jism hali yerga yetmagan.

O‘zingizni tekshiring

1. Jism 5 s da tinch holatdan 20 m/s tezlikka erishdi. Tezlanish?

2. Shu jism 5 s da qancha yo‘l bosdi?

3. Tosh 20 m/s bilan yuqoriga otildi. Eng katta balandlik?

4. Jism 45 m balandlikdan tinch holatdan tushdi. Tushish vaqti?

5. Tinch holatdan tekis tezlanuvchan harakatda 1-sekundda 2 m o‘tildi. 3-sekundda-chi?

6. Velosipedchi 10 s da 50 m, keyingi 20 s da 250 m yurdi. O‘rtacha tezlik?

7. Qayiq suvga nisbatan 5 m/s, daryo oqimi 1 m/s. Oqimga qarshi suzganda qirg‘oqqa nisbatan tezlik?

8. Yuqoriga otilgan jismning eng yuqori nuqtadagi tezlanishi qancha?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• O‘rtacha tezlikni tezliklarning o‘rta arifmetigi deb olish.
• Sekinlashishda tezlanish ishorasini unutish.
• Yo‘l va ko‘chishni adashtirish.
• km/h ni m/s ga o‘tkazmasdan formulaga qo‘yish (1 m/s = 3,6 km/h).
• "n-sekunddagi yo‘l" va "n sekund ichidagi yo‘l"ni chalkashtirish.
• Eng yuqori nuqtada tezlanish ham nol deb o‘ylash.