Maktab dasturi· 30 daqiqa· 20 ta savol
Avval o‘rganing: Uchburchak va uning elementlari
Ikki uchburchak teng yoki o‘xshash ekanini isbotlash — geometriyaning asosiy quroli. Tenglik noma’lum kesma yoki burchakni ma’lum biriga tenglashtirishga, o‘xshashlik esa proporsiya tuzib noma’lumni hisoblashga imkon beradi. Teng yonli uchburchak xossalari, o‘rta chiziq, Pifagor teoremasining isbotlaridan biri, xarita masshtabi va soya bo‘yicha balandlikni o‘lchash — hammasi shu ikki tushunchaga tayanadi. Bu darsda alomatlar, ularni qo‘llash tartibi, Fales teoremasi, bissektrisa xossasi va to‘g‘ri burchakli uchburchakdagi o‘xshashlik ko‘rib chiqiladi.
Ikki uchburchak teng deyiladi, agar ularni ustma-ust qo‘yish (siljitish, burish, aks ettirish) mumkin bo‘lsa. Teng uchburchaklarda mos tomonlar va mos burchaklar teng. Mos elementlar tartibi muhim: △ABC = △KLM yozuvi A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M degani.
Tenglikni isbotlash uchun oltita elementning hammasini tekshirish shart emas — uchtasi yetarli:
1) Ikki tomon va ular orasidagi burchak (TBT)
2) Bir tomon va unga yopishgan ikki burchak (BTB)
3) Uch tomon (TTT)
To‘g‘ri burchakli uchburchaklar uchun qo‘shimcha: ikki katet; katet va o‘tkir burchak; gipotenuza va katet; gipotenuza va o‘tkir burchak.
Diqqat: "ikki tomon va ular orasida bo‘lmagan burchak" — umumiy holda alomat emas: bunday shartlarga ikki xil uchburchak mos kelishi mumkin. Uch burchak tengligi ham alomat emas — u faqat o‘xshashlikni beradi.
AB va CD kesmalar O nuqtada kesishadi va har biri shu nuqtada teng ikkiga bo‘linadi. AC = BD ekanini ko‘rsating.
Ko‘p mashhur xossalar tenglik alomatlaridan isbotlanadi:
Isbot tartibi: kerakli kesma yoki burchakni o‘z ichiga olgan ikki uchburchakni tanlaymiz → ularda uchta teng elementni topamiz (shart, vertikal burchak, umumiy tomon, parallel to‘g‘ri chiziqlardagi burchaklar) → alomatni nomlaymiz → mos elementlar tengligini yozamiz.
Umumiy tomon — ikki uchburchak uchun "tekin" teng element
Burchaklari mos ravishda teng va mos tomonlari proporsional uchburchaklar o‘xshash: a₁/a = b₁/b = c₁/c = k, bu yerda k — o‘xshashlik koeffitsiyenti. O‘xshash shakllar bir xil "ko‘rinishli", faqat o‘lchami boshqa.
Alomatlar: 1) ikki burchak teng; 2) ikki tomon proporsional va ular orasidagi burchak teng; 3) uch tomon proporsional
Perimetrlar nisbati k, yuzalar nisbati k², hajmlar nisbati k³
Nega yuza k² marta o‘zgaradi? Yuza ikki chiziqli o‘lcham ko‘paytmasi (½ · asos · balandlik), har biri k marta kattalashadi. Mos elementlar (mediana, balandlik, bissektrisa, ichki va tashqi aylana radiuslari) ham k nisbatda.
Eng ko‘p ishlatiladigan alomat — ikki burchak: uchburchak tomoniga parallel to‘g‘ri chiziq doim o‘xshash uchburchak kesadi (mos burchaklar teng).
O‘xshash uchburchaklar perimetrlari 12 va 18. Kichigining yuzi 20. Kattasining yuzini toping.
AC ga parallel to‘g‘ri chiziq AB ni M da, BC ni N da kesadi; BM = 4, MA = 2, AC = 9. MN ni toping.
Burchak tomonlarini kesuvchi parallel to‘g‘ri chiziqlar ularda proporsional kesmalar ajratadi
Bir tomonda teng kesmalar ajratilsa, ikkinchi tomonda ham teng kesmalar hosil bo‘ladi. Bundan uchburchak o‘rta chizig‘i xossasi kelib chiqadi: tomonlar o‘rtalarini tutashtiruvchi kesma uchinchi tomonga parallel va uning yarmiga teng (k = 1/2).
Bissektrisa xossasi: uchburchak bissektrisasi qarama-qarshi tomonni yopishgan tomonlarga proporsional bo‘laklarga bo‘ladi:
BD/DC = AB/AC (AD — A burchak bissektrisasi)
AB = 6, AC = 9, BC = 10. A burchak bissektrisasi BC ni qanday bo‘laklarga bo‘ladi?
2 m li ustun soyasi 3 m, xuddi shu paytda daraxt soyasi 15 m. Daraxt balandligini toping.
Gipotenuzaga tushirilgan balandlik uchburchakni o‘zaro va asliga o‘xshash ikki uchburchakka ajratadi (har birida bitta o‘tkir burchak umumiy). Shundan:
h² = a_c · b_c, a² = c · a_c, b² = c · b_c
Bu munosabatlarni qo‘shsak, a² + b² = c(a_c + b_c) = c² — Pifagor teoremasining o‘xshashlik orqali isboti.
Balandlik gipotenuzani 4 va 9 ga bo‘ladi. Balandlik va katetlarni toping.
Trapetsiya diagonallari kesishgan nuqtada asoslarga tutash uchburchaklar o‘xshash, k = a/b (asoslar nisbati). Asoslar 4 va 10 bo‘lsa, diagonallar 2 : 5 nisbatda bo‘linadi, bu uchburchaklar yuzalari esa 4 : 25 nisbatda.
Amalda o‘xshashlik xarita va chizmalarda (masshtab), fotosuratni kattalashtirishda, yetib bo‘lmaydigan masofa va balandliklarni o‘lchashda ishlatiladi. Masalan, 1 : 50 000 masshtabli xaritada 4 cm haqiqatda 2 km ga teng.