Har qanday trigonometrik tenglama oxir-oqibat eng sodda tenglamalarga (sin x = a, cos x = a, tg x = a) keltiriladi. Shuning uchun avval ularni mukammal bilish, keyin keltirish usullarini o‘rganish kerak. Davriylik tufayli ildizlar cheksiz ko‘p — javob n ∈ Z parametr bilan yoziladi.
§1. Eng sodda tenglamalar
sin x = a (|a| ≤ 1): x = (−1)ⁿ arcsin a + πn
cos x = a (|a| ≤ 1): x = ± arccos a + 2πn
tg x = a (har qanday a): x = arctg a + πn
|a| > 1 bo‘lsa, sin x = a va cos x = a ning yechimi yo‘q
Xususiy holatlar (umumiy formuladan soddaroq):
sin x = 0 → x = πn; sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn.
cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn.
Arkfunksiyalar:arcsin a ∈ [−π/2; π/2], arccos a ∈ [0; π], arctg a ∈ (−π/2; π/2). arcsin(−a) = −arcsin a, arccos(−a) = π − arccos a.
Misol
cos x = −1/2. arccos(−1/2) = π − π/3 = 2π/3 → x = ±2π/3 + 2πn.
§2. Bitta funksiyaga keltirish va almashtirish
Tenglamani bitta funksiyaga keltirib, t = sin x (yoki cos x, tg x) almashtiramiz. |t| ≤ 1 shartini unutmang.
Misol
2cos²x + sin x − 1 = 0.
cos²x = 1 − sin²x: 2 − 2sin²x + sin x − 1 = 0 → 2sin²x − sin x − 1 = 0.
t = sin x: 2t² − t − 1 = 0 → t = 1 yoki t = −1/2.
sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1/2 → x = (−1)ⁿ⁺¹ π/6 + πn.
§3. Bir jinsli tenglamalar
a sin x + b cos x = 0 — cos x ga bo‘lamiz (cos x = 0 ildiz emasligini tekshirib): tg x = −b/a. a sin²x + b sin x cos x + c cos²x = 0 — cos²x ga bo‘lamiz: a tg²x + b tg x + c = 0.
Misol
sin²x − 3 sin x cos x + 2cos²x = 0.
cos x = 0 bo‘lsa, sin²x = 0 ham bo‘ladi — mumkin emas, demak bo‘lish xavfsiz.
tg²x − 3tg x + 2 = 0 → tg x = 1 yoki tg x = 2.
x = π/4 + πn, x = arctg 2 + πn.
§4. Ko‘paytuvchilarga ajratish va formulalar
Ikki tomonni o‘zgaruvchili ifodaga bo‘lmang — ildizlar yo‘qoladi. Buning o‘rniga umumiy ko‘paytuvchini qavsdan chiqaring.
Misol
sin 2x = cos x.
2 sin x cos x − cos x = 0 → cos x (2 sin x − 1) = 0.
cos x = 0 → x = π/2 + πn; sin x = 1/2 → x = (−1)ⁿ π/6 + πn.
Misol (rasmiy namunadan)
sin 7x · cos x = sin 6x. [−π; π] oraliqda nechta ildiz bor?
Ko‘paytmani yig‘indiga: ½(sin 8x + sin 6x) = sin 6x → sin 8x = sin 6x.
8x = 6x + 2πk → x = πk; yoki 8x = π − 6x + 2πk → x = π/14 + πk/7 = π(2k + 1)/14.
Birinchi seriyadan [−π; π] da −π, 0, π — 3 ta; ikkinchisidan 2k + 1 toq sonlar −13 dan 13 gacha — 14 ta; ular ustma-ust tushmaydi.
Jami 17 ta; eng kichik musbat ildiz π/14.
§5. a sin x + b cos x = c — yordamchi burchak
Ikkala tomonni √(a² + b²) ga bo‘lamiz. |c| > √(a² + b²) bo‘lsa, yechim yo‘q.
Misol
sin x + cos x = 1 → √2 sin(x + π/4) = 1 → sin(x + π/4) = √2/2 → x = 2πn yoki x = π/2 + 2πn.
§6. Berilgan oraliqdagi ildizlarni tanlash
Ko‘p test savollarida umumiy yechim emas, balki berilgan oraliqdagi ildizlar, ularning soni yoki yig‘indisi so‘raladi. Umumiy yechim cheksiz ko‘p sonni beradi, shuning uchun ulardan oraliqqa tushadiganlarini ajratib olish kerak. Buning uchta usuli bor:
Butun `n` larni qo‘yib chiqish. Umumiy yechimga n = 0, ±1, ±2, … qiymatlarni ketma-ket qo‘yamiz va oraliqdan chiqib ketguncha davom etamiz. Eng ishonchli va oddiy usul.
Tengsizlik bilan.a ≤ x₀ + πn ≤ b qo‘sh tengsizlikni n ga nisbatan yechib, mos butun n larni topamiz. Oraliq katta bo‘lganda qulay.
Birlik aylanada. Ildizlarni aylanada belgilab, oraliqqa mos yoyni bo‘yaymiz va yoy ichidagi nuqtalarni sanaymiz. Nechta ildiz borligini tez ko‘rish uchun yaxshi.
Oraliq uchlarini alohida tekshiring: x = 0, x = π, x = 2π kabi chegaraviy nuqtalar kesma [a; b] ga kiradi, interval (a; b) ga esa kirmaydi.
Ikki seriyali yechimlarda (masalan, cos x = a uchun + va − ishorali seriyalar, yoki ko‘paytuvchilarga ajratishdan chiqqan ikki tenglama) har bir seriyani alohida tekshirish va oxirida takrorlanayotgan ildizlarni bir marta sanash kerak.
Misol
cos 2x = 1/2 tenglamaning [0; π] kesmadagi ildizlarini toping.
2x = ±π/3 + 2πn → x = ±π/6 + πn.
x = π/6 + πn seriyasi: n = 0 da π/6 (kiradi), n = 1 da 7π/6 > π (kirmaydi).
x = −π/6 + πn seriyasi: n = 0 da −π/6 < 0 (kirmaydi), n = 1 da 5π/6 (kiradi).