Ketma-ketlik va funksiya limiti

Limit — matematik analizning poydevori: hosila ham, integral ham limit orqali ta’riflanadi. Imtihonda asosan ketma-ketlik limiti, 0/0 va ∞/∞ noaniqliklarini ochish hamda ajoyib limitlar bo‘yicha savollar beriladi. Har bir turdagi noaniqlikning o‘z «kaliti» bor — ularni tanib olishni o‘rganamiz.

§1. Ketma-ketlik limiti

n cheksiz o‘sganda aₙ hadlar biror A soniga istalgancha yaqinlashsa, A — ketma-ketlik limiti: lim aₙ = A (n → ∞).

Limitlar ustida amallar: yig‘indi, ayirma, ko‘paytma va (maxraj limiti 0 bo‘lmasa) bo‘linmaning limiti limitlarning yig‘indisi, ayirmasi, ko‘paytmasi, bo‘linmasiga teng.
Har qanday ketma-ketlik limitga ega emas: (−1)ⁿ navbatma-navbat −1 va 1 ga teng — limiti yo‘q; n² esa cheksizlikka intiladi.

Misol

lim (3n + 1)/(n + 2) (n → ∞) ni toping.

1. Surat va maxrajni n ga bo‘lamiz: (3 + 1/n)/(1 + 2/n).
2. 1/n → 0, 2/n → 0.
3. Limit 3/1 = 3.

§2. Funksiya limiti va uzluksizlik

x son a ga yaqinlashganda f(x) qiymatlari A ga yaqinlashsa, lim f(x) = A (x → a). Bunda f(a) ning o‘zi muhim emas — funksiya a da aniqlanmagan bo‘lishi ham mumkin.
Agar lim f(x) = f(a) bo‘lsa, f funksiya a nuqtada uzluksiz. Ko‘phadlar, ratsional (maxraj nolga aylanmaydigan nuqtalarda), ildizli, ko‘rsatkichli, trigonometrik funksiyalar o‘z aniqlanish sohasida uzluksiz. Shuning uchun birinchi qadam doim — qiymatni qo‘yib ko‘rish.

Agar qo‘yganda 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ kabi noaniqlik chiqsa, ifodani avval almashtirish kerak.

Bir tomonlama limitlar. x son a ga faqat chapdan (x → a − 0) yoki faqat o‘ngdan (x → a + 0) yaqinlashishi mumkin. Limit mavjud bo‘lishi uchun ikkala bir tomonlama limit teng bo‘lishi shart. Masalan, f(x) = |x|/x uchun x → 0 + 0 da 1, x → 0 − 0 da −1 — ular har xil, demak x → 0 da limit mavjud emas. Shunga o‘xshash, 1/x funksiya x → 0 da chekli limitga ega emas: o‘ngdan +∞, chapdan −∞ ga intiladi.

§3. 0/0 noaniqligi

Surat va maxraj ikkalasi ham 0 ga aylansa, ular umumiy (x − a) ko‘paytuvchiga ega. Uni ajratib qisqartiramiz:

• Ko‘paytuvchilarga ajratish (ko‘phadlar uchun).
• Qo‘shmaga ko‘paytirish (ildizlar uchun): √A − B ni √A + B ga ko‘paytiramiz.

Qisqartirish qonuniy, chunki x → a da x ≠ a.

Misol

lim(x→3)(x² − 5x + 6)/(x² − 9) ni toping.

1. Qo‘ysak 0/0.
2. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. Qisqartiramiz: (x − 2)/(x + 3).
4. x = 3: 1/6.

Misol

lim(x→0)(√(x + 1) − 1)/x ni toping.

1. Qo‘shmaga ko‘paytiramiz: (x + 1 − 1)/(x(√(x + 1) + 1)) = 1/(√(x + 1) + 1).
2. x = 0: 1/2.

§4. ∞/∞ va ∞ − ∞ noaniqliklari

Ratsional ifodada surat va maxrajni x ning eng katta darajasiga bo‘lamiz. Natijada qoida:

• lim(x→∞)(3x² + 1)/(x² − 5) = 3.
• lim(x→∞)(2x + 1)/(x² + 1) = 0.

`∞ − ∞` turida ifodani kasr ko‘rinishiga keltiramiz — ko‘pincha qo‘shmaga ko‘paytirib.

Misol

lim(n→∞)(√(n² + n) − n) ni toping.

1. Qo‘shmaga ko‘paytiramiz: (n² + n − n²)/(√(n² + n) + n) = n/(√(n² + n) + n).
2. n ga bo‘lamiz: 1/(√(1 + 1/n) + 1).
3. Limit 1/(1 + 1) = 1/2.

§5. Ajoyib limitlar

Birinchidan kelib chiqadigan natijalar:

Ikkinchidan: lim(n→∞)(1 + k/n)ⁿ = eᵏ.

Misol

lim(x→0) sin 3x/sin 2x ni toping.

1. sin 3x/sin 2x = (sin 3x/(3x))·(2x/sin 2x)·(3/2).
2. Birinchi ikki ko‘paytuvchi 1 ga intiladi.
3. Javob: 3/2.

Misol

lim(n→∞)(1 + 2/n)ⁿ ni toping.

1. m = n/2 desak: (1 + 1/m)²ᵐ = ((1 + 1/m)ᵐ)².
2. Javob: e².

§6. Limitning tatbiqlari: asimptotalar va hosila ta’rifi

Limit — o‘z-o‘zidan maqsad emas: u funksiya grafigining «chetlardagi» xatti-harakatini tasvirlaydi va hosila tushunchasining asosi bo‘ladi.
Asimptotalar. Grafik cheksiz yaqinlashadigan to‘g‘ri chiziq asimptota deyiladi.

Kasr-ratsional funksiyada vertikal asimptotani maxrajning nollari ichidan izlaymiz (surat ham nolga aylansa, avval qisqartirish kerak — u holda asimptota bo‘lmasligi mumkin). Gorizontal asimptota §4 dagi ∞/∞ qoidasidan topiladi: surat va maxraj darajalari teng bo‘lsa, b — bosh koeffitsiyentlar nisbati; maxraj darajasi katta bo‘lsa, b = 0.
Hosila ta’rifi. f(x) ning x₀ nuqtadagi hosilasi — orttirmalar nisbatining limiti:

Bu limitda doim 0/0 noaniqligi chiqadi, va u §3 dagi usul bilan — suratni soddalashtirib, h ga qisqartirib — ochiladi. Shu sababli limitlarni yaxshi bilish hosilalar jadvalini tushunish uchun zarur.

Misol

a) lim(h→0) ((2 + h)² − 4)/h ni hisoblang. b) y = (3x + 1)/(x − 2) funksiyaning asimptotalarini toping.

1. a) Qo‘yganda 0/0. Suratni ochamiz: 4 + 4h + h² − 4 = h(4 + h).
2. h ga qisqartiramiz: lim(h→0)(4 + h) = 4. Bu (x²)′ ning x = 2 dagi qiymati: 2·2 = 4.
3. b) Maxraj x = 2 da nol, surat esa 7 ≠ 0, demak x → 2 da y → ±∞: x = 2 — vertikal asimptota.
4. Darajalar teng: lim(x→∞)(3x + 1)/(x − 2) = 3/1 = 3, demak y = 3 — gorizontal asimptota.

O‘zingizni tekshiring

1. lim(n→∞)(5n − 2)/(2n + 7) = ?

2. lim(x→1)(x² − 1)/(x − 1) = ?

3. lim(x→0) sin 4x/(2x) = ?

4. lim(x→∞)(x³ − x)/(2x³ + 5) = ?

5. lim(x→4)(√x − 2)/(x − 4) = ?

6. lim(n→∞)(1 + 3/n)ⁿ = ?

7. lim(h→0) ((3 + h)² − 9)/h = ?

8. y = (2x − 1)/(x + 3) ning gorizontal asimptotasi?

Ko‘p uchraydigan xatolar

• 0/0 ni 0 yoki 1 ga tenglash — bu javob emas, noaniqlik.
• ∞/∞ da faqat bosh koeffitsiyentlarni solishtirib, darajalar teng-tengmasligini tekshirmaslik.
• Ajoyib limitni x → ∞ da qo‘llash: lim(x→∞) sin x/x = 0, 1 emas.
• (1 + 1/n)ⁿ ni 1ⁿ = 1 deb hisoblash — bu 1^∞ noaniqligi, javob e.
• Qo‘shmaga ko‘paytirganda maxrajni ham ko‘paytirishni unutish.
• Maxrajning har bir noli vertikal asimptota deb hisoblash: surat ham shu nuqtada nolga aylansa, avval qisqartirish kerak.