Avval o‘rganing: Ratsional va irratsional sonlar
Haqiqiy sonlar to‘plamida x² = −1 tenglama yechimga ega emas: hech qanday haqiqiy sonning kvadrati manfiy bo‘lmaydi. Kompleks sonlar shu «kamchilik»ni to‘ldiradi: ularda har qanday kvadrat tenglama (umuman, har qanday ko‘phadli tenglama) yechiladi. Kompleks sonlar elektrotexnika, signal nazariyasi va fizikada tebranishlarni ta’riflashda keng qo‘llanadi. Imtihonda algebraik amallar, modul, qo‘shma son, i ning darajalari, trigonometrik shakl va manfiy diskriminantli kvadrat tenglamalar so‘raladi.
i² = −1
i — mavhum birlik. Kompleks son: z = a + bi, bunda a = Re z — haqiqiy qism, b = Im z — mavhum qism (a, b ∈ R). Bu yozuv algebraik shakl deyiladi.
`i` ning darajalari 4 qadamli davr bilan takrorlanadi:
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1; iⁿ = i^(n mod 4)
Sababi: i⁴ = (i²)² = (−1)² = 1, shuning uchun har to‘rtinchi darajada qiymat qaytadi.
(5 + i)/(1 + i) ni hisoblang.
2z + z̄ = 3 + 2i tenglamani yeching.
z = a + bi — koordinata tekisligidagi (a; b) nuqta (yoki boshdan shu nuqtaga vektor). Gorizontal o‘q — haqiqiy, vertikal o‘q — mavhum o‘q. Qo‘shish vektorlarni qo‘shishga mos keladi, qo‘shma son esa haqiqiy o‘qqa nisbatan simmetrik nuqta.
Modul: |z| = √(a² + b²) — nuqtadan koordinata boshigacha masofa
|z₁z₂| = |z₁|·|z₂|, |z̄| = |z|, |z|² = z·z̄
|z₁ − z₂| — tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa
Masalan, |3 − 4i| = √(9 + 16) = 5. |z − z₀| = R tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar — markazi z₀ va radiusi R bo‘lgan aylana; |z − z₀| ≤ R — doira.
|(3 + 4i)(1 − 2i)| ni ko‘paytirmasdan toping.
Nuqtani masofa va burchak bilan ham berish mumkin:
z = r(cos φ + i sin φ), r = |z|, φ — argument (tg φ = b/a, chorak hisobga olinadi)
Ko‘paytirishda modullar ko‘paytiriladi, argumentlar qo‘shiladi; bo‘lishda modullar bo‘linadi, argumentlar ayiriladi. Bu sinus va kosinus yig‘indisi formulalaridan kelib chiqadi.
Muavr: zⁿ = rⁿ(cos nφ + i sin nφ)
(1 + i)⁸ ni hisoblang.
Diskriminant manfiy bo‘lsa, ildizlar qo‘shma kompleks juftlik:
D < 0: x = (−b ± i√(−D))/(2a)
Haqiqiy koeffitsiyentli tenglamaning kompleks ildizlari har doim qo‘shma juft bo‘lib keladi, va Viyet teoremasi o‘z kuchida qoladi.
x² − 4x + 13 = 0 ni yeching.
z² = −8 + 6i tenglamani yeching.
Modul masofa bo‘lgani uchun ko‘p tenglama va tengsizliklarni geometrik «o‘qish» mumkin:
|z − z₀| = R — markazi z₀, radiusi R aylana
|z − z₁| = |z − z₂| — z₁ va z₂ nuqtalarni tutashtiruvchi kesmaning o‘rta perpendikulyari
R₁ ≤ |z − z₀| ≤ R₂ — halqa
Bunday masalalarda algebraik hisob o‘rniga chizma ko‘pincha javobni darhol beradi. Masalan, |z − 1 − i| ≤ 2 — markazi (1; 1), radiusi 2 bo‘lgan doira; undagi nuqtalardan koordinata boshiga eng uzog‘i √2 + 2 masofada.
|z| = |z − 2| = |z − 2i| shartni qanoatlantiruvchi z ni toping.