Avval o‘rganing: Natural sonlar va amallar
Kasrlar — imtihonning eng ko‘p «ball yo‘qotiladigan» joyi: bitta noto‘g‘ri umumiy maxraj butun masalani buzadi. Kasr butunning qismini ifodalaydi, ikki sonning bo‘linmasini yozadi va nisbatlarni ko‘rsatadi — shuning uchun u algebra, geometriya, foiz va ehtimollik masalalarida doimo uchraydi. Bu darsda oddiy kasrlardan davriy o‘nli kasrlargacha barcha amallarni ishonchli bajarishni, har bir qoidaning sababini va kasrli matnli masalalarni o‘rganamiz.
a/b — butunni b ta teng qismga bo‘lib, a tasini olish (b ≠ 0). b — maxraj (nechta qismga bo‘lingan), a — surat (nechta qism olingan). a < b — to‘g‘ri kasr (birdan kichik), a ≥ b — noto‘g‘ri kasr.
Asosiy xossa: a/b = (a·k)/(b·k), k ≠ 0
Nega to‘g‘ri? Har bir qismni yana k bo‘lakka bo‘lsak, qismlar soni ham, olingan qismlar soni ham k marta ko‘payadi, olingan miqdor esa o‘zgarmaydi.
Qo‘shish: a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) — amalda maxrajlar EKUKiga keltirish qulay
Ko‘paytirish: a/b · c/d = ac/(bd); bo‘lish: a/b : c/d = a/b · d/c
Nega qo‘shishda umumiy maxraj kerak? Faqat bir xil «bo‘laklarni» qo‘shish mumkin: uchdan birlar va yarimtalarni avval oltidan birlarga aylantiramiz: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6, 2/5 emas.
Bo‘lish teskari kasrga ko‘paytirishga teng, chunki bo‘lish — ko‘paytirishga teskari amal: (a/b · d/c)·(c/d) = a/b.
Aralash sonlar bilan ko‘paytirish-bo‘lishda avval noto‘g‘ri kasrga o‘tkazing. Ko‘paytirishdan oldin ko‘ndalang qisqartirish hisobni yengillashtiradi: 14/15 · 25/28 = (1·5)/(3·2) = 5/6.
2/3 + 5/6 − 3/4 ni hisoblang.
O‘nli kasr — maxraji 10, 100, 1000, … bo‘lgan kasrning boshqacha yozuvi: 0,37 = 37/100. Teskari o‘tish ham oson: o‘nli kasrni maxraji 10 ning darajasi bo‘lgan kasr shaklida yozib, qisqartiramiz: 0,125 = 125/1000 = 1/8, 2,4 = 24/10 = 12/5. Kasr va o‘nli yozuv orasida erkin o‘tish murakkab ifodalarni hisoblashni ancha osonlashtiradi.
Foydali qiymatlar: 1/2 = 0,5, 1/4 = 0,25, 3/4 = 0,75, 1/5 = 0,2, 1/8 = 0,125.
Takrorlanuvchi qism qavsga olinadi: 0,333… = 0,(3), 0,1666… = 0,1(6).
Sof davriy: 0,(ab) = ab/99; masalan 0,(36) = 36/99 = 4/11
Aralash davriy: 0,a(b) = (ab − a)/90
Umumiy qoida: (verguldan keyingi butun yozuv − davrgacha bo‘lgan qism) / (davrdagi raqamlar sonicha 9 + davrgacha bo‘lgan raqamlar sonicha 0). Masalan, 0,1(6) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6; 0,(9) = 9/9 = 1.
7,2(1) − 4,4(2) + 31/90 ni hisoblang.
Murakkab ifodada oddiy va o‘nli kasrlar aralash kelsa, hammasini bir turga keltiring: 0,25 = 1/4, 0,(3) = 1/3 kabi qiymatlar oddiy kasrda qulayroq. Ko‘p qavatli kasrni eng pastki qavatdan boshlab soddalashtiramiz.
1/(1 + 1/(1 + 1/2)) ni hisoblang.
a ning m/n qismi — a·m/n; qismi bo‘yicha butun — b : (m/n)
Diqqat: «qolganining» so‘zi kasr yangi butunga — qolgan qismga nisbatan olinishini bildiradi.
Kitobning 3/8 qismi o‘qildi, bu 150 bet. Kitobda necha bet?
1200 so‘mning 1/3 qismi sarflandi, keyin qolganining 1/4 qismi sarflandi. Qancha pul qoldi?
Ba’zan kasrni ikki kasr ayirmasi ko‘rinishida yozish juda foydali. Maxraji ikki ketma-ket son ko‘paytmasi bo‘lgan kasr uchun:
1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1)
Tekshiruv: 1/n − 1/(n + 1) = (n + 1 − n)/(n(n + 1)) = 1/(n(n + 1)). Masalan, 1/6 = 1/(2·3) = 1/2 − 1/3.
Bunday kasrlar yig‘indisida qo‘shni hadlar bir-birini yo‘q qiladi va faqat birinchi va oxirgi qism qoladi — yig‘indi «teleskop» kabi yig‘iladi. Bu usul uzun hisoblarni bir qatorga qisqartiradi va imtihonda vaqtni tejaydi.
1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(9·10) ni hisoblang.