Avval o‘rganing: Kombinatorika asoslari
Ehtimollik — tasodifiy hodisa qanchalik «kutilgan» ekanini 0 dan 1 gacha bo‘lgan son bilan o‘lchash. Imtihon masalalari asosan klassik ta’rif, kombinatorika yordamida sanash, hodisalarni qo‘shish va ko‘paytirish hamda «kamida bitta» turidagi savollardan iborat. Har bir masalada avval barcha teng imkoniyatli natijalarni aniq tasavvur qilish muvaffaqiyat kaliti.
P(A) = m/n — m qulay natijalar soni, n barcha teng imkoniyatli natijalar soni; 0 ≤ P(A) ≤ 1
Muhim shart — natijalar teng imkoniyatli bo‘lishi kerak. Ikki tosh tashlanganda yig‘indilar (2 dan 12 gacha) teng imkoniyatli emas, juftliklar (1; 1), (1; 2), …, (6; 6) esa teng imkoniyatli — ular 36 ta.
Ikki o‘yin toshi tashlandi. Tushgan ochkolar yig‘indisi 8 bo‘lish ehtimoli qancha?
Natijalar ko‘p bo‘lsa, ularni ro‘yxatlamasdan guruhlash (Cₙᵏ) formulasi bilan sanaymiz.
10 ta lotereya chiptasidan 3 tasi yutuqli. Tavakkaliga 2 ta chipta olindi. a) Ikkalasi yutuqli; b) aynan bittasi yutuqli bo‘lish ehtimoli?
Birgalikda bo‘lmagan: P(A + B) = P(A) + P(B)
Umumiy holda: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)
Nega P(AB) ayiriladi? Ikkala hodisaga tegishli natijalar P(A) da ham, P(B) da ham sanalgan — ikki marta.
36 talik kartalar dastasidan bitta karta olindi. U tuz yoki «yurak» belgili (cherv) karta bo‘lish ehtimoli?
Agar biri ro‘y berishi ikkinchisining ehtimolini o‘zgartirmasa, hodisalar bog‘liq emas:
P(AB) = P(A)·P(B)
Aks holda shartli ehtimollik ishlatiladi:
P(AB) = P(A)·P(B | A)
Tipik bog‘liqlik — qaytarmasdan olish: birinchi olingan shar qutidagi tarkibni o‘zgartiradi.
«Kamida bitta» — qarama-qarshi hodisa orqali: P = 1 − P(hech biri).
Ikki mergan nishonga bir martadan o‘q uzadi; tegish ehtimollari 0,8 va 0,7. Topilsin: a) ikkalasi tegadi; b) kamida bittasi tegadi; c) aynan bittasi tegadi.
Qopda 8 ta moviy va 8 ta qizil shar. Ketma-ket qaytarmasdan 2 ta olindi. Ikkalasi moviy bo‘lish ehtimoli?
Bernulli formulasi: bir xil tajriba n marta mustaqil takrorlanadi, har safar «muvaffaqiyat» ehtimoli p, q = 1 − p:
Pₙ(k) = Cₙᵏ pᵏ qⁿ⁻ᵏ
Masalan, tanga 4 marta tashlanganda aynan 2 marta gerb tushishi: C₄²·(1/2)⁴ = 6/16 = 3/8.
Geometrik ehtimollik: nuqta sohaga tavakkaliga tashlansa, ehtimollik — o‘lchamlar (uzunlik, yuza) nisbati:
P = S(qulay soha)/S(butun soha)
Masalan, tomoni 2 bo‘lgan kvadratga tashlangan nuqtaning ichki chizilgan doiraga tushish ehtimoli: π·1²/4 = π/4.
Shartli ehtimollik P(B | A) — A hodisa ro‘y bergani ma’lum bo‘lgandagi B ning ehtimoli. Uni hisoblashda butun natijalar fazosi o‘rniga faqat A ga qulay natijalar olinadi:
P(B | A) = P(AB)/P(A), bunda P(A) > 0
Masalan, o‘yin toshi tashlandi va juft son tushgani ma’lum. 5 dan katta son tushish ehtimoli: juft natijalar 2, 4, 6, ulardan 5 dan kattasi faqat 6, demak shartli ehtimollik 1/3, shartsiz ehtimollik esa atigi 1/6. Shart ehtimollikni o‘zgartiradi, chunki u mumkin bo‘lgan natijalar to‘plamini toraytiradi.
Ko‘p masalada natija bir necha «yo‘l» bilan ro‘y beradi: mahsulot turli zavodlardan keladi, shar turli qutilardan olinadi. Agar H₁, H₂, …, Hₙ — juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan va birgalikda to‘la guruh tashkil etuvchi farazlar (ularning ehtimollari yig‘indisi 1) bo‘lsa:
P(A) = P(H₁)·P(A | H₁) + P(H₂)·P(A | H₂) + … + P(Hₙ)·P(A | Hₙ)
Bu to‘la ehtimollik formulasi. Uni «daraxt» ko‘rinishida tasavvur qilish qulay: har bir shox bo‘yicha ehtimollar ko‘paytiriladi, kerakli natijaga olib keladigan shoxlar esa qo‘shiladi.
Teskari savol — A ro‘y bergan bo‘lsa, u qaysi faraz orqali ro‘y bergan bo‘lishi ehtimoli — Bayes formulasi bilan topiladi: P(Hᵢ | A) = P(Hᵢ)·P(A | Hᵢ)/P(A).
Do‘kondagi lampalarning 60% ini birinchi zavod, 40% ini ikkinchi zavod ishlab chiqargan. Birinchi zavod mahsulotining 2% i, ikkinchisining 5% i nuqsonli. Tavakkaliga olingan lampaning nuqsonli bo‘lish ehtimolini, so‘ngra nuqsonli lampaning birinchi zavoddan bo‘lish ehtimolini toping.