Avval o‘rganing: Prizma, parallelepiped, piramida
Aylanish jismlari tekis shaklni biror o‘q atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladi: to‘g‘ri to‘rtburchakni tomoni atrofida aylantirsak — silindr, to‘g‘ri burchakli uchburchakni kateti atrofida aylantirsak — konus, yarim doirani diametri atrofida aylantirsak — shar hosil bo‘ladi. Bu jismlar hayotda hamma joyda: banka, quvur, voronka, to‘p. Ularni o‘rganishning eng qulay yo‘li — o‘q kesimi: jismni o‘qi orqali o‘tuvchi tekislik bilan kesganda hosil bo‘ladigan tekis shakl uning barcha o‘lchamlarini ko‘rsatadi va fazoviy masalani planimetriya masalasiga aylantiradi. Bu darsda sirt yuzlariga e’tibor beramiz, hajmlar alohida «Hajmlar» mavzusida batafsil ko‘riladi.
Silindr — to‘g‘ri to‘rtburchakni bir tomoni atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jism. Uning ikki asosi — teng doiralar (radius R), balandligi h — asoslar orasidagi masofa. Aylanish o‘qi asoslar markazlaridan o‘tadi; aylantirilgan tomon esa yasovchi deyiladi, to‘g‘ri silindrda yasovchi balandlikka teng.
O‘q kesimi — tomonlari 2R va h bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak. O‘q kesimi kvadrat bo‘lsa, h = 2R va silindr teng tomonli deyiladi.
Yon sirtni qaychi bilan bitta yasovchi bo‘ylab kesib, tekislikka yoysak, to‘g‘ri to‘rtburchak hosil bo‘ladi: bir tomoni asos aylanasining uzunligi 2πR, ikkinchisi h. Shu sababli:
Yon sirt S_yon = 2πRh
To‘la sirt S = 2πRh + 2πR² = 2πR(R + h)
Hajm V = πR²h
To‘la sirtda ikkala asos ham qo‘shiladi — bu eng ko‘p unutiladigan joy.
Silindrning o‘q kesimi tomoni 6 bo‘lgan kvadrat. Yon va to‘la sirtni toping.
Konus — to‘g‘ri burchakli uchburchakni kateti atrofida aylantirishdan hosil bo‘ladi. Aylanish o‘qi bo‘lgan katet — balandlik h, ikkinchi katet — asos radiusi R, gipotenuza — yasovchi l. Pifagor teoremasidan:
l² = R² + h²
O‘q kesimi — asosi 2R, yon tomonlari l bo‘lgan teng yonli uchburchak. O‘q kesimi teng tomonli uchburchak bo‘lsa, l = 2R.
Konus yon sirtini yasovchi bo‘ylab kesib yoysak, doiraviy sektor chiqadi: uning radiusi l, yoyi esa asos aylanasi uzunligi 2πR. Sektor yuzi lR/2 formulasi bo‘yicha (yoy uzunligi × radius / 2):
Yon sirt S_yon = πRl; to‘la sirt S = πR(R + l)
Yoyilma — radiusi l sektor, burchagi φ = 360° · R/l
Hajm V = πR²h/3
Yoyilma burchagi formulasi 2πR = πlφ/180° tengligidan kelib chiqadi. R < l bo‘lgani uchun burchak har doim 360° dan kichik.
Konusda R = 3, h = 4. Yasovchi, yon sirt, to‘la sirt va yoyilma burchagini toping.
Konusni asosga parallel tekislik bilan kesib, uchli qismini olib tashlasak, kesik konus qoladi. Uning ikki asosi — radiuslari R va r bo‘lgan doiralar, balandligi h, yasovchisi l. O‘q kesimi — teng yonli trapetsiya (asoslari 2R va 2r). Trapetsiyadan:
l² = h² + (R − r)²
Yon sirt S_yon = π(R + r)l; to‘la sirt S = π(R + r)l + πR² + πr²
Yon sirt formulasini eslab qolish oson: r = 0 bo‘lsa, oddiy konus formulasi πRl chiqadi, r = R bo‘lsa — silindrning 2πRl formulasi.
Kesik konus asoslari radiuslari 5 va 2, balandligi 4. To‘la sirtni toping.
Shar — markazdan R dan katta bo‘lmagan masofadagi barcha nuqtalar; sfera — shar sirti, ya’ni markazdan aynan R masofadagi nuqtalar. Yarim doirani diametri atrofida aylantirsak, shar hosil bo‘ladi.
Sfera yuzi S = 4πR²; shar hajmi V = 4πR³/3
Tekislik bilan kesim — doira, radiusi r = √(R² − d²) (d — markazdan tekislikkacha masofa)
Kesim formulasi Pifagor teoremasidan: shar radiusi gipotenuza, d va r — katetlar. Markaz orqali o‘tuvchi kesim — katta doira (r = R), u eng katta kesim. Sferaga urinma tekislik urinish nuqtasiga o‘tkazilgan radiusga perpendikulyar — xuddi aylanadagi urinma kabi.
Qiziqarli fakt (Arximed): sfera yuzi radiusi R bo‘lgan to‘rtta katta doira yuziga teng.
Radiusi 13 bo‘lgan shar markazdan 5 uzoqlikdagi tekislik bilan kesilgan. Kesim yuzini toping.
Kombinatsiya masalalarida ham o‘q kesimi yordam beradi:
Sharga tashqi chizilgan silindr: S_silindr : S_sfera = 6πR² : 4πR² = 3 : 2
Uzunligi 6 m, radiusi 5 dm silindrsimon yog‘ochdan eng katta hajmli to‘g‘ri burchakli ustun yasaldi. Ustun hajmini va chiqindi ulushini (π ≈ 3) toping.
Konusda R = 3, h = 4. Unga ichki chizilgan shar radiusini toping.